10. Лоду с постоянными коэффициентами. Структура фср.
Опр.Ур-е y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y’+any=0 (1), в кот. aiϵR, i=1,…,n,назыв. ЛОДУ порядка n с пост. коэффициентами.
Будем искать решение ур-я (1) в виде y = eλx (2), λ – некоторое число. Подставляя ур-е (2), а также y’= λeλx, y’’= λ2eλx ,… в ур-е (1), получим: eλx(λn+a1λn-1+…+ an-1λ+an)= 0 (3). Сократив на eλx≠0, получим: (λn+a1λn-1+…+ an-1λ+an)=0 (4).
Опр. Многочлен Р(λ)= λn+a1λn-1+…+ an-1λ+an назыв. хар-ким многочленом, соответствующим ур-ю (4). Ур-е (4) назыв. хар-ким уравнением. (4) получается из (1) заменой порядка производной искомой ф-ции на соотв. степень λ.
13. Достаточные признаки сходимости для знакопостоянных рядов: признак Даламбера и Коши.
Признак
Д’Аламбера: пусть
дан u1+u2+…+un+…
(1). Если существует
,
то при
<1
ряд (1) сх-ся, при
>1
– расх-ся, при
=1
– требуются доп. исследования.
Радикальный
признак Коши. Пусть
существует конечны или бесконечный
предел
,
где un
–
общ. член ряда (1), то при
<1
ряд (1) сх-ся, при
>1
– расх-ся, при
=1
– требуются доп. исследования.
Интегральный
признак Коши. Пусть
члены ряда (1) имеют вид un
=
f(n),
где f(n)
неотрицательная монотонно убывающая
функция на [1, +
),
тогда ряд (1) сх-ся(рас-ся) тогда, когда
сх-ся(рас-ся) интеграл
Замечания:
1) если общ. член удв. условию un=f(n)
начиная с некоторого номера n=k>1,
то ряд (1) сх-ся
2) если ряд (1) сх-ся, то для его суммы S справедливо
<=S<= +u1
7. Дифф. Ур-я высших порядков.Ду допускающие понижение порядка.
Ур-я вида F(x,y,y’,…,y(n))=0, n>1 (1) назыв. диффур-ями первого порядка. Ур-е y(n)=f(x,y,y’,…,y(n-1)) (2)назыв. ур-ем n-ного порядка, разрешенным относит.старшей производной. При интегрировании n-ного порядка (2) получается семейство решений, заданное функцией, зависящей от nпроизвольных постоянных С1, С2,…,Сn.
y = ϕ(x1, C1, C2,…,Cn) (*).
Опр. Ф-ция вида (*), n раз непрерывно дифф-мая, назыв. общим решением ур-я (2) или (1). Если решение ур-я (2), (1) удается получить в неявном виде ϕ(x,y,C1, C2,…,Cn)=0, то оно назыв. общим интегралом.
При интегрировании ур-я n-ого порядка получается семейство решений. Для выделения конкретного (частного) решения из общего необходимо иметь помимо диф. ур-я некоторые доп. условия, позволяющие определить значения постоянных C1, C2,…,Cn. Одним из таких условий является задание значения ф-ции и ее первых n-1 производных в некот. X0ϵ (a,b), на кот. определено решение ур-я, т.е. условий y(x0)=y0, y’(x0)=y0’,…, y(n-1)(x0) = y0(n-1) (3), где X0ϵ (a,b). Условия (3) назыв. нач. условиями или условиями Коши для ур-я (2).
Опр. Задача отыскания частного решения ур-я (2), удовл. системе нач. условий (3), назыв. задачей Коши для данного ур-я.
Сформулируем теорему о сущ. и единственности решения задачи Коши для ур-я (2): Если в ур-ии (2) ф-ция f непрерывна в окрестности т.(x0,y0,y0’,…,y0(n-1))ϵRn+1 и имеет непрерывные частные производные df/dy, df/dy’,…,df/dy(n-1), то сущ. единственное решение ур-я (2), определенное в некот. интервале (a,b), содержащем т.X0 и удовл. нач. условиям (3).
Опр. Мн-во D ϲ Rn+1, в каждой точке кот. сущ. и притом единственное решение задачи Коши, назыв. областью единственности для данного ур-я.
Опр. Решение ур-я (2), в каждой т. кот. имеет место св-во единственности решения задачи Коши, назыв. частным решением этого ур-я.
ДУ, допускающие понижение порядка:
а) ур-я вида y(n)=f(x). Порядок понижается всякий раз на 1 путем последовательного интегрирования.
б) ур-я вида F(x,y(k)(x),…,y(n)(x))=0. Данное ур-е может быть проинтегрировано путем введения подстановки y(k)(x)=z. Тогда y(k+1)(x)=z’; y(k+2)(x)=z’’; y(n)(x)=z(n-k). Тогда мы понизим порядок уравнения на k.
в) ур-е вида F(y,y’,…,y(n))=0. Подстановка y’=p, p=p(y) позволяет понизить порядок ур-я на 1.
Замечание. Ур-е F(x,y,y’,…,y(n))=0назыв. ур-ем точных производных, если его левая часть явл.точной произв. некот. ф-ции, т.е.F(x,y,y’,…,y(n))=d/dx[ȹ(x,y,y’,…,(n-1))]. Если d/dx[ȹ(x,y,y’,…,(n-1))]=0=>ȹ(x,y,y’,…,(n-1))=С1(**). Соотношение (**) назыв. первым интегралом и предст. собой дифф. ур-е порядка n-1. Вывод: ур-е в точных производных допускает понижение порядка на 1 единицу.