29. Теоремы обращения
Теорема Если функция F(p) в окрестности точки p=∞может быть представлена в виде ряда лорана
F(p) = ∑cn/pn+1=c0/p+c1/p2+c2/p3+…
то функция
f(t) = ∑cntn/n!=c0+c1t+…(t>0)
является оригиналом, имеющим изображение F(p) т е
F(p)= ∑cn/pn+1÷∑cntn/n!=f(t)
ТеоремаЕсли F(p) = A(p)/B(p) – правильная рациональная дробь, щнаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни p1,p2,…,pnто ф-я
f(t)=∑A(pk)/B’(pk)*epktявляется оригиналом, имеющим изображение F(p)
Пусть f(t) ф-я оригинал, которая интегрируема на (0;+inf) тогда сущ одност. преобр Фурье
F(iσ)=
(1)
выберем
в (1) вместо f(t)
ф-ю f(t)*
где
sвыберем
т.о. чтобы был сход.
.
Тогда сход. будет
F(iσ)=
=
=F(p)
преобр Лапласса можно рассмотреть как результат опред образом построенным одност преобр фурье.
Если f(t) ф-я оригинал с показателем роста s0 то F(iσ)=F(p) сущ при σ>s0
обратным
преобрахованием фурье для интерграла
(1) явл. f(t)
= 1/(2pi)
выбрав в качестве f(t) f(t)e-stи преобразовав получим формулу Меллина
f(t)=
1/(2ipi)
pdp
интеграл
в правой части называется интегралом
меллина, вспользуя понятие теории
вычетов правую часть можно записать
f(t)=
ptRepk<s0
особые точки pkF(p) дожны лежать левее по прямой Rep=s0
30. Решение задачи Коши для ду и систем методом операционного исчисления.
Пусть требуется найти частное решение линейного дифференци ального уравнения с постоянными эффициентамиy(n)+a1y(n-1)+…+any=f(t) удовлетворяющее начальным условиям y(0)=c0, y’(0)=c1, …, y(n-1)(0) = cn-1где с0,с1,cn-1заданные числа.будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматриваемыми производними и ф-я f(t) являются оригиналами.
Пусть
Пользуясь
свойствами дифференцирования оригинала
и линейности, перейдем в уравненииот
оригиналов к изображениям:
Полученное уравнение называют onepamopным (или уравнением в изображениях). Разрешим его относительно У:
Y(p) = (F(p)+Rn-1(p))/Qn(p) где Qn(p) и Rn-1 (р) - алгебраические многочлены от р степени n и n - 1 соответственно.
Полученное равенство называют оnераmорным решенuем, дифференциального уравнения . Оно имеет более простой вид, если всеначальные условия равны нулю
Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению , получаем, в силу теоремы единственности, частное решение дифференциального уравнения .
3aмечание. Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается справедливым при всех значениях t (а не только при t >= О).