27. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов.

Вычетом, аналитической функции f(z) в изолированной особой точке Z₀ называется комплексное число, равное значению интеграла , взятого в положительном направлении по окружности L с центром в точке z₀, лежащей в области аналитичности функции f(z) (т. е. в кольце 0< Iz – z₀l < R).

Обозначается вычет функции f(z) в изолированной особой точке z₀ символом Resf(z₀) или Res(f(z); z₀). Таким образом,

resf(z₀)= dz

Вычет функции f(z) относительно особой точки z₀ равен коэффициенту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции f(z) в ряд Лорана

Теорема Коши. Если функция f(z) является аналитической в замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек zk (k = 1,2, ... , n), лежащих внутри области D, то

Вокруг каждой особой точки zk опишем окружность l_k так, чтобы она целиком содержалась в области D, не содержала внутри других особых точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих. Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области имеем:

где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки. Тогда , и тд, следовательно,

Приложение вычетов

Правuльные uлu устранимые особые точки. Очевидно, если z =z0 есть правильная или устранимая особая точка функции f(z), то Res f(z0) = 0 (в разложении Лорана в этих случаях отсутствует главная часть, поэтому С_-1 = 0)

Полюс. Пусть точка z0 является простым полюсом функции f(z).Тогда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид , отсюда

Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при , получаем

Пусть точка z0 является полюсом m-го порядка функции f(z). Тогда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид f(z) = ∑C_n(z-z0)ⁿ+(c_-1)/(z-z0)+ (c_-2)/(z-z0)²+…+(c_-m)/(z-z0)^m . Отсюда:

(z-z0)^mf(z)=∑C_n(z-z0)^n+m+(c_-m)+(c_-m+1)(z-z0)+…+(c_-1)(z-z0)^m-1

Дифференцируя последнее равенство (m - 1) раз и переходя к пределу при , получим:

Существенно особая точка. Если точка z0 - существенно особая точка функции f(z), то для вычисления вычета функции в этой точкеобычно непосредственно определяют коэффициент С_-1 в разложении функции в ряд Лорана.

28. Преобразование Лапласа. Определения и свойства. Пусть f(t) - действительная функция действительного пере менного t (под t будем понимать время или координату).

Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. f(t) тождественна равна нулю при t < О.

2. f(t) -кусочно-непрерывная при t >= 0, т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва 1 рода, причем на каждом конечном промежутке оси t таких точек лишь конечное число.

З. Существуют такие числа M> О и s0 >= 0, что для всех t выполняется неравенство f(t)<= м ·e^s0t, т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число s0 называется nоказателем роста f(t).

Замечание. Функция f(t) может быть и комплексной функциейдействительно переменного, т. е. иметь вид

f(t) = f1(t) +if2(t);

она считается оригиналом, если действительные функции fl (t) И f2(t) являются оригиналами.

Изображением орuгuнала f(t) называется функция F(р) комплексного переменного р = s + iσ, определяемая интегралом

F(p)= операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(р) называют nреобразованuем Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(р) записывается в виде f(x)÷F(р) (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а ихизображения - соответствующими большими буквами).

Теорема (существование изображения). Для всякого оригинала f(t) изображение F(р) существует (определено) в полуплоскости Rep = s>s0, где s0 - показатель роста функции f(t), причем функция Р(р) является аналитической в этой полуплоскости (s>s0). Следствие (необходимый признак существования изображения). Если функция F(p) является изображением функции f(t)то lim_p->0F(p) = О. Теорема (о единственности оригинала). Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов f1 (t) и f2(t), то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.

Свойства преобразования Лапласа

Линейность. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений, т. е. если

f1 (t)÷F1 (р), f2(t)÷F2(p), c1 и c2 - постоянные числа, то c1*f1(t) + c2*f2(t)÷c1*F1(p) + c2* F2(p).

Подобие

Если f(t)÷F(p), λ>0, то f(λt) ÷1/λF(p/λ), т. е. умножение аргумента оригинала на положительное число λприводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Смещение ( затухание)

Если f(t) ÷ F(p), а = const, то е^at * f(t)÷ F(p - а), т. е.умножение оригинала на функцию е^at влечет за собой смещение переменной р.

Запаздывание

Если f(t) ÷F(p), т>0О, то f(t - т)÷ е^-ртF(p) , т. е. запаздывание оригинала на положительную величину т приводит к умножениюизображения оригинала без запаздывания на е^-pt

Дифференцирование оригинала.

Если f(t),f’(t)…f⁽ⁿ⁾являются функциями оригиналами и f(t)÷F(p) тоf’(t)÷p(F(p)-F(0)) , f’’(t) ÷p^2(F(p)-p(F(0)-F’(0)…

f⁽ⁿ⁾÷pⁿ (F(p))-p^n-1F(0)- p^n-2F’(0)-…-F^(n-1)

Дифференцирование изображения.

Если f(t)÷F(p) то tf(t) ÷-F’(p), t²f(t) ÷F’’(p)… tⁿf(t) ÷(-1)ⁿFⁿ(p)

Интегрирование оригинала

Если f(t) ф-я оригинал, имеющая изображение F(p) то также является оригиналом причем изображение его F(p)/p

Интегрирование изображения

Если f(t) функция оригинал, F(p) то является изображением ф-и f(t)/t