25. Ряды Тейлора и Лорана.

Теорема. Всякая аналитическая в круге |z-z0|<Rфункция f(z) может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд

Коэффициенты которого определяются формулами

Где l– производная окружность с центром в точке z0, лежащая внутри круга.

Данный степенной ряд называется рядом Тейлора для функции f(z) в рассматриваемом круге.

Возьмем произвольную точку zвнутри данного круга и проведем окружность с центром в точке z0 и радиусом r<Rтак, чтобы точка zнаходилась внутри круга |z-z0|<r.

Так как функция f(z) аналитична в круге |z-z0|<rи на его границе l, то ее значение в точке zможно найти по формуле Коши.

Где – точка на окружности l. Имеем:

Так как |z-z0|<|ξ-z0|, то , следовательно, выражение можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Таким образом,

Умножим обе части этого равенства на величину и проинтегрируем его почленно по контуру l. Получим

Т.е.

Где

Используя формулу

Получим представление коэффициентов ряда через n-eпроизводные функции f(z) в точке z0:

Таким образом, мы получили разложение функции f(z) в степенной ряд, коэффициенты которого определяются по формулам выше.

Докажем единственность этого разложение.

Допустим, что функция f(z) в круге |z-z0|<Rпредставлена другим степенным рядом

Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное число раз, будем иметь:

………….

…………

Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде z=z0, получаем b0=f(z0), b1=f’(z0), b2= ,…,bn= ,…

Сравнивая найденные коэффициенты bnряда с коэффициентами ряда

Устанавливаем, что bn=cn (n=0,1,2,…) а это означает, что указанные ряды совпадают. Функция f(z) разлагается в степенной ряд единственным образом.

Ряд Лорана.

Теорема. Всякая аналитическая функция в кольце r<|z-z0|<R(0<=r<=R<= ) функция f(z) может быть разложена в этом кольце в ряд

Коэффициенты которого определяются формулой

Где L – произвольная окружность с центром в точке z0, лежащая внутри данного кольца.

Данный ряд называется рядом Лорана для функции f(z) в рассматриваемом кольце.

Ряд Лорана для функции

Состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т.е ряд

Называется правильной частью ряда Лорана. Этот ряд сходится к аналитической функции f1() внутри круга |z-z0|<R.

Вторая часть ряда Лорана, т.е. ряд

Называется главной частью ряда Лорана. Этот ряд сходится к аналитической функции f2(z) вне круга |z-z0|>r.

Внутри кольца r<|z-z0|<Rряд

Сходится к аналитической функции f(z)=f1(z)+f2(z)

В частности, если функция f(z) не имеет особых точек внутри круга |z-z0|<R, то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.

26. Нули и особые точки аналитических функций. Классификация изолированных особых точек однозначных аналитических функций

всякая функция f(z), аналитическая в окрестности точки z0, разлагается в этой окрестности в степенной ряд.

Точка z0 называется нулем функции f(z), если f(z0) = 0. В этом случае разложение функции f(z) в окрестности точки z0 в степенной ряд не содержит нулевого члена, т. к. с0 = f(z0) = 0. Если не только c0 = 0, но и с1 = c2 = … = с_m-1 = 0, ас_m 0, торазложениефункцииf(z) вокрестноститочкиz0 имеетвид

f(z) = c_m(z - z0)^m + c_m+1(z - z0)^m+1 + ... + c_n(z–z0)ⁿ + ...,

а точка z0 называется нулем кратности m (или нулем m-го порядка). Если m = 1, то z0 называется простым нулем.

Из формул для коэффициентов ряда Тейлора следует, что если z0 является нулем кратности m функции f(z), то f(z0) = f'(z0) = ... = f^(m-1)(z0) = 0, но f^(m)(z0) ≠ 0. В этом случае представление функции степенным рядом можно переписать в виде f(z) = (z-z0)^m , где

= c_m + c_m+1(z - z0) + ...

Для функции точка z = z0 уже не является нулем, так как = c_m ≠ 0.

Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции.

Как мы уже знаем, особой точкой функции f(z) называется точка, в которой функция не является аналитической.

Особая точка z=z0 функции f(z) называется изолированной, если в некоторой окрестности ее функция f(z) не имеет других особых точек.

Если z0 – изолированная особая точка функции f(z), то существует такой число R> 0, что в кольце 0<|z-z0|<Rфункция f(z) будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

При этом возможны следующие случаи:

1. Ряд Лорана не содержит главной части, т.е. в ряд не членов с отрицательными показателями. В таком случае точка z0 называется устранимой особой точкой функции f(z).

2. Разложение Лорана содержит в своей главной части конечное число членов, т.е. в ряде есть конечное число членов с отрицательными показателями. В этом случае точка z0 называется полюсом функции f(z).

3. Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное множество членов, т.е. в ряде есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этом случае точка z0 называется существенной особой точкой функции f(z).

Устранимые особые точки.

Если z0 –устранимая особая точка, то в окрестности точки z0 разложение имеет вид

Это разложение справедливо во всех точках круга |z-z0|<R, кроме точки z=z0. Если положить f(z0)=c₀ где с₀ (т.е. определить функцию f(z) в точке z0), то функция f(z) станет аналитической во всем круге |z-z0|<R (включая его центр z=z0); особенность точки z0 устраняется, точка z0 становится правильной точкой функции f(z)).

Из равенства следует, что в достаточно малой окрестности устраняемой особой точки z0 функция f(z) является ограниченной.

Справедливо и обратной утверждение: изолированная особая точка z=z0 является устранимой, если существует конечный предел

Полюсы.

Если z0 – полюс, то в окрестности точки z0 разложение имеет вид

Где c_{-m ­­}0. В этом случае полюс z0 называется полюсом m-го порядка функции f(z); если m=1, то полюс z0 называется простым.

Запишем последнее равенство в виде

Или

Где g(z) – аналитическая функция, причем g(z0) = c_-m 0. Отсюда следует, что f(z)-> при z-> , т.е. достаточно малой окрестности полюса функция f(z) бесконечно велика.

Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая точка z=z0 является полюсом, если

Теорема. Если точка z0 – нуль m-го порядка функции f(z), то z0 является полюсом m-го порядка функции ; если точка z0 –полюс m-го порядка функции f(z), то z0 является нулем m-го порядка функции .

Существенно особая точка.

Если z0 –существенно особая точка, то в достаточно малой окрестности точки z0 функция f(z) становится неопределенной. В такой точке аналитическая функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Выбирая различные последовательности точке {z­­_n­}, сходящихся к существенно особой точке z0, можно получить различные последовательности соответствующих значений функций, сходящиеся к различным пределам.