1. Дифференциальные уравнения. Общие понятия.

Опр. Соотношение (1), связывающее независ. переменную и изв. ф-цию и её производные, называется дифференциальным уравнением.

Опр. Если ДУ (1) можно записать в виде (2), где , - изв. ф-ция, определенная на нек. открытом мн-ве Е, то говорят, что ДУ (1) разрешено относительно старшей производной.

(2) – ур-е в норм. форме.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Так, решением уравнения у’=f(x) является функция у=F(х) - первообразная для функции f(x).

Если искомая функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным в противном случае - ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Опр. Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ – интегральной кривой. ДУ имеют бескон. мн-во решений.

3. Ду с разделяющимися переменными, однородные уравнения.

Уравнение вида (1) – ДУ 1 порядка с разделяющимися переменными.

– ур-е с разделяющимися переменными

Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

– общий интеграл (1).

Замечание. При проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, – особые решения.

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Опр. Функция f(x; у) называется однородной функцией порядка α, если при выполняется рав-во

Опр. Дифференциальное уравнение

(2)

называется однородным, если функция f(x;у) есть однородная функция нулевого порядка.

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (3)

ДУ (3) будет однородным, если M(x,y)и N(x,y)- однородные функции одинакового порядка.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, где - новая неизв. ф-ция.

2. ДУ 1-го порядка. Основные определения и теоремы.

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде

F(x; у; у') = 0 (1)

Если уравнение (1) можно разрешить относительно у', то его записывают в виде

у' = f(x;у) (2)

и называют ДУ первого порядка, разрешенной относительно производной.

Геометрическое истолкование ДУ первого порядка: Уравнение (2) устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (х;у) и угловым коэффициентом у' касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ у'=f(x;у) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оху.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить у' = С, т.е. f(x; у) = С.

ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

Р(х;у)dx + Q(x;у)dy = 0 (3)

где Р(х; у) и Q(x; у) - известные функции, переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них можно рассматривать как функцию другой.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами). Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при х=x₀ функция y должна быть равна заданному числу y₀, т. е. у=y₀ называется начальным условием. Начальное условие записывается в виде

y(y₀) = y₀ или yl_x=x0 = y₀ (4)

Опр. Задача отыскания решения ДУ (2), удовлетворяющего заданному начальному условию (4), называется задачей Коши.

Опр.Общим решением ДУ называется функция у=φ(x; с), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

1. Функция φ(x; с)является решением ДУ при .

2. Каково бы ни было начальное условие (4), можно найти такое значение постоянной с=c₀, что функция у=φ(x; с₀) удовлетворяет данному начальному условию.

Опр.Частным решением ДУ называется решение, в каждой точке кот. сохр-ся единственность решения задачи Коши.

Опр. Особым решением ДУ называется решение, в каждой точке кот. нарушается единственность решения задачи Коши.

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравнения φ(х;y;с)=0, то такое решение называется общим интегралом ДУ. Уравнение φ(х;y;с)=0 в этом случае называется частным интегралом уравнения.

С геометрической точки зрения у=φ(x; с) есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху; частное решение у=φ(x; с₀) - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (x₀;y₀).

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если в уравнении (2) функция f(x;у) и ее частная производная f'_y(x;у) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x₀;y₀), то существует единственное решение у=φ(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (4).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая через точку (x₀;y₀).