№1. Основные физические велечины и соотношения кинематики. Нормальное и тангенциальное ускорения при вращательном движении.

Основные единицы СИ и измеряемые ими величины

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

| Наименование      | Обозначение                                  | Измеряемая величина     |     |

| единицы                 |-------------------------------------------------------|                               |-----|

|                                 | международное  | русское         |                                        |-----|

|                                 |                              |                        |                                        |-----|

|                                 |                              |                        |                                        |-----|

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Килограмм                | kg                         | кг                    | Масса                              |     |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Метр                         | m                          | м                     | Длина                              |     |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Секунда                    | s                           | с                     | Время                              |     |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Ампер                       | А                           | А                     | Сила электрического       |     |

|                                  |                              |                        | тока                                 |     |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Кельвин                    | К                           | К                     | Термодинамическая       |     |

|                                  |                              |                        | температура*                   |     |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Моль                         | mol                       | моль               | Количество вещества     |     |

|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Кандела                    | cd                         | кд                   | Сила света                     |     |

Нормальное ускорение. Поскольку вектор ускорения при криволинейном движении сориентирован по отношению к скорости под произвольным углом, то разложим его на нормальную и тангенциальную составляющие:

a = a_n + a_ = a_n·n + a_·.

Определим величину, направление и роль в изменении скорости нормального ускорения. Предположим, что  a  = a_n. Тогда:

d = a·dt = a_n·dt.

Таким образом, вектор приращения скорости параллелен вектору нормального ускорения. Поскольку нормаль n перпендикулярна , а, следовательно, и вектору скорости, то всегда вектор приращения скорости также перпендикулярен v. В данном случае годограф представляет из себя окружность и скорость изменяется только по направлению, сохраняясь неизменной по величине. Следовательно, направление вектора приращения скорости совпадает с вектором n.

Тангенциальное ускорение. Определим величину, направление и роль в изменении скорости тангенциального ускорения. Предположим, что a = a_. Тогда:

d = a·dt = a_·dt.

Следовательно, в данном случае вектор приращения скорости параллелен вектору тангенциального ускорения. С другой стороны, в любой момент времени вектор скорости параллелен , следовательно, вектора приращения скорости и тангенциального ускорения также направлены вдоль .

Поскольку направление вектора скорости не изменяется с течением времени, то модуль приращения вектора скорости |d| равен приращению модуля вектора скорости d|| = d и   a_ = d/dt.

Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Вектор тангенциального ускорения равен a_ = d/dt·.

В общем случае, когда скорость изменяется по величине и направлению значение модуля вектора ускорения равно:

  .

Сам вектор полного ускорения состоит из суммы двух слагаемых:

a = d(·)/dt = d/dt· + ·d/dt.

Первое слагаемое представляет собой его тангенциальную составляющую, а второе - нормальную составляющую, причем d/dt = /R·n.

№2.Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Силы в механике. Момент силы.

Точка, движение которой ничем не ограничено, называется свободной. Свободная точка под действием приложенных сил может двигаться в каком угодно направлении. Задачи, в которых рассматривается свободная точка, решаются при помощи основного уравнения динамики (жирным выделены векторные величины)  (а)P = ma.

Если на точку действует только одна сила Р (примером такого движения может служить так называемое свободное падение – движение точки под действием силы тяжести в безвоздушном пространстве), то векторное уравнение (а) заменяется скалярным уравнением  (б)P = ma,  выражающим зависимость между модулями силы и ускорения.

Если на точку действует несколько сил Р₁, Р₂, ..., Р_n, то векторное уравнение (а) примет вид  (в)R = ma,  где равнодействующая R=∑P_i и, согласно закону независимости действия сил, a=∑a_i(ускорение точки равно геометрической сумме ускорений, сообщенных ей каждой силой в отдельности).

1й закон Ньютона:

Первый закон Ньютона постулирует наличие такого явления, как инерция тел. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция — это явление сохранения телом скорости движения (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают инертностью. Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их текущего состояния. Величина инертности характеризуется массой тела.

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.

2й закон Ньютона:

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

3й закон Ньютона:

Этот закон объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух тел. Первое тело может действовать на второе с некоторой силой  , а второе — на первое с силой  . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Подчеркнём, что эти силы приложены к разным телам, а потому вовсе не компенсируются.

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

Силы в механике. Наиболее фундаментальные силы, лежащие в основе всех механических явлений, это силы гравитационные и электрические. Сила тяжести относится к гравитационному взаимодействию, сила трения и силы упругости - к электромагнитному взаимодействию.

Сила тяжести F = mg , где m - масса тела, g - ускорение силы тяжести. Заметим, что вес тела P - это сила, с которой тело действует на опору или подвес P = m (g – a), где a - ускорение тела (и опоры) относительно Земли. Если а = g, то вес тела равен нулю Р = 0 (состояние невесомости).

Упругая сила – сила, пропорциональная смещению точки из положения равновесия и направленная к положению равновесия. Примером такой силы может быть сила упругой деформации при растяжении (сжатии) пружины или стержня. В соответствии с законом Гука эта сила определяется так:

F_упр. = - k∙∆l, где k - коэффициент жесткости пружины (стержня), ∆l - величина упругой деформации. Знак минус означает, что противоположны направления смещения точки и силы упругости, возникающей при этом смещении и действующей на смещенную точку.

Величина силы трения скольжения, возникающая при скольжении одного тела по поверхности другого, равна F_тр. = μN, где μ - коэффициент трения, зависящий от соприкасающихся поверхностей, N - сила реакции опоры.

Сила трения направлена в сторону противоположную направлению движения данного тела относительно другого. Есть другие виды сил трения - силы трения покоя и сила трения качения.

Сила сопротивления, действующая на тело при его поступательном движении в газе или жидкости определяется зависимостью F_{сопр. =} αv, где v - скорость тела относительно среды, α - положительный коэффициент, характерный для данного тела и данной среды, при малых скоростях практически постоянен. Сила сопротивления всегда направлена противоположно вектору скорости тела.

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора, (проведенного от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

№3. Импульс. Момент импульса. Их основные свойства и характеристики.

Импульсом материальной точки называется векторная величина, равная произведению ее массы на ее скорость P = mv.

Импульсом системы материальных точек называется вектор, равный геометрической (векторной) сумме импульсов всех материальных точек системы:

P = P₁ + P₂ +.....+ P_n =   P_i

Используя понятие массы, импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость ее центра масс P = mv_ц.

Импульс P - вектор, по направлению совпадающий с направлением скорости.

Импульс - одна из фундаментальных характеристик физической системы. И масса, и скорость были определены ранее, но только импульс обладает уникальным свойством. Для него сформулированзакон сохранения импульса, который является универсальным законом. Он выполняется и в микромире (на уровне элементарных частиц, атомов и молекул), и в макромире (мир вокруг нас), и в мегамире (на уровне планет, Вселенной, Галактики). До сих пор не открыто явлений, в которых бы нарушался закон сохранения импульса.

№4. Энергия и работа. Консервативные силы. Работа в потенциальном поле. Законы сохранения.

Эне́ргия — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Введение понятия энергии удобно тем, что в случае, если физическая система является замкнутой, то её энергия сохраняется во времени. Это утверждение носит название закона сохранения энергии. Понятие введено Аристотелем в трактате «Физика».

Кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Единица измерения в системе СИ — Джоуль. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.

Зако́н сохране́ния эне́ргии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.

В физике консервати́вные си́лы (потенциальные силы) — силы, работа которых не зависит от формы траектории (зависит только от начальной и конечной точки приложения сил). Отсюда следует определение: консервативные силы — такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0.

Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется.

Таким образом, потенциальная сила всегда направлена против направления возрастания потенциальной энергии.

Потенциальные поля. Если работа, совершаемая векторным полем над пробным телом, не зависит от формы траектории, то такое поле называется потенциальным. Иными словами, в потенциальном поле работа по замкнутому контуру равна нулю. 

№5. Динамика вращательного движения твердого тела. Момент инерции. Теорема Штейнера.

Рассмотрим движение твердого тела, имеющею ось вращения   под действием произвольно направленной силы  , приложенной к телу в некоторой точке А , которую можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную (рис.5.1). Вертикальная составляющая может вызывать перемещение тела в направлении оси вращения поэтому при рассмотрении вращательного движения ее можно исключить.Горизонтальная составляющая  , если она не пересекается с осью   вызывает вращение тела. Действие этой силы зависит от ее числового значения и расстояния линии действия от оси вращения.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_cотносительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

,

где   — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

№6 Кинетическая энергия вращения. Закон сохранения момент импульса.

Кинетическая энергия вращательного движения — энергия тела, связанная с его вращением.

Основные кинематические характеристики вращательного движения тела — его угловая скорость ( ) и угловое ускорение. Основные динамические характеристики вращательного движения — момент импульса относительно оси вращения z:

и кинетическая энергия

где I_z — момент инерции тела относительно оси вращения.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: ΣL(вектор)=const ,если система находится в равновесии.

№7. Законы сохранения и их обусловленность симметрией пространства и времени.

http://ens.tpu.ru/POSOBIE_FIS_KUSN/%D4%E8%E7%E8%F7%E5%F1%EA%E8%E5%20%EE%F1%ED%EE%E2%FB%20%EC%E5%F5%E0%ED%E8%EA%E8/06-6.htm

№8. Теория тяготения Ньютона. Законы Кеплера..

В рамках классической механики гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы   и  , разделёнными расстоянием  , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния — то есть:

Здесь   — гравитационная постоянная, равная примерно 6,6725×10⁻¹¹ м³/(кг·с²).

Закон всемирного тяготения — одно из приложений закона обратных квадратов, встречающегося также и при изучении излучений (см., например, Давление света), и являющегося прямым следствием квадратичного увеличения площади сферы при увеличении радиуса, что приводит к квадратичному же уменьшению вклада любой единичной площади в площадь всей сферы.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением  , где   — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния),   — большая полуось. Величина   называется эксцентриситетом эллипса. При , и, следовательно,   эллипс превращается в окружность.