Добавил:

Hist Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

ТФКП_1_2 / tfkp2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

255.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Изображением функции оригинала f(t) ( по Лапласу ) называют функцию комплексного переменного p=s+iσ, определяемую равенством

∞

F ( p) = ∫ f (t)e− pt dt

Пишут F=L[f], F ÷ f, f ÷ F.

Свойства преобразования Лапласа. Далее в этом разделе везде под f(t) понимается f(t)H(t).

Преобразования Лапласа простейших функций:

1 ÷	1	, Re p > 0;e p0 t ÷	1		, Re p > Re p , t ne p0 t ÷	n!
			p − p			( p − p	)n +1
	p			0	0
						0

Свойство линейности αf(t)+βg(t)÷αF(p)+βG(p).

Свойство подобия. При α>0

1 1 f (αt ) ÷ F

α α

Свойство запаздывания. Для τ>0 f(t-τ)÷e-pτF(p). Дифференцирование изображения F(n)(p)÷(-1)ntnf(t).

Дифференцирование оригинала f′(t)÷pF(p)-f(0).

Следствие. f(n)(t)÷pnF(p)-pn-1f(0)-pn-2f′(0)-…-f(n-1)(0)

Интегрирование изображения

Если f(t)÷F(p), Re p > s0				и	f (t)	- оригинал, то
Если f(t)÷F(p), Re p > s0				и		- оригинал, то
					t
	f (t)	∞
	f (t)	÷ ∫F (q)dq
	t	÷ ∫F (q)dq
	t	p
		p
Интегрирование оригинала.
Если f(t)÷F(p), Re p > s0, то
		t	F ( p)
	g(t) = ∫ f (τ )dτ ÷		F ( p)
	g(t) = ∫ f (τ )dτ ÷		p
		0	p
		0

Свертка оригиналов и умножение изображений.

∞

Свертка определяется по формуле ( f * g )(t) = ∫ f (τ )g (t − τ )dτ . Отметим, что

− ∞

f*g=g*f. f*g÷F(p)G(p)

Отметим, что если f, g – оригиналы, то и f*g – оригинал. Умножение оригиналов, свёртка изображений

a + i∞

f (t)g(t) ÷

∫F (τ )G( p − τ )dτ

2πi

a −i∞

Таблица основных свойств преобразования Лапласа

∞

a + i∞

F ( p) = ∫ f (t)e− pt dt

f (t) =

∫e pt F ( p)dp

αf(t)+βg(t)÷αF(p)+βG(p)

2πi

a −i∞

1 ÷

, Re p > 0;

e p0 t ÷

, Re p > Re p

t ne p0 t ÷

p − p

( p − p

)n +1

F(p-λ)÷e

λt

α>0 , f (αt) ÷

τ>0, f(t-τ)÷e-pτF(p)

f(t)

(−t)k

f(n)(t) pnF(p)-pn-1f(0)-…-

f (t) ÷

f’(t) pF(p)-f(0),

f(n-1)(0)

dpk

f (t)

∞

F ( p)

÷ ∫F (q)dq

∫ f (τ )dτ ÷

Таблица некоторых преобразований Лапласа

Оригинал

Изображение

Оригинал

Изображение

(α + 1)

t (α>-1)

pα +1

ch ωt

p2 − ω 2

e-λt

ebt − eat

p − a

p + λ

p − b

e-λt tα (α>-1)

(α + 1)

e−αt

α +1

p + α

( p + λ)

πt

− α 2

−α p

sin ωt

e 4t

p2 + ω 2

πt

−

cos ωt

sin 2

αt

p2 + ω 2

πα

Im( p + iω )

n +1

−

cos 2

αt

sin ωt

( p2 + ω 2 )n +1

πα

Re( p + iω )n +1

e−

tn cos ωt

sin

p sin

πt

( p2 + ω 2 )n +1

ω cosα + ( p + λ ) sinα

e−

-λt

sin (ωt+α)

cos

p cos

( p + λ )2 + ω 2

πt

− ω sinα + ( p + λ ) cosα

e-λt cos (ωt+α)

sinωt

+ ω

− p

( p + λ )

+ ω

πt

+ ω

cosωt

+ ω

+ p

sh ωt

p2 − ω 2

πt

p 2

+ ω 2

Пример 1. x′′+a2x=b sin at, общие начальные данные x0, x1,

b sin at ÷ b

поэтому

p2 + a2

( p2 + a2 ) X ( p) =

+ px + x ,

X ( p) =

+ x

+ a2

( p2

+ a2 )2

0 p2 + a2

1 p2 + a2

Согласно 5 из таблицы

px0

÷ x0 cos at ,

p2 + a2

согласно 4 из таблицы

÷ x1

sin at

p2 + a2

Im( p + ia)2

2 pa

согласно 6 из таблицы t sin at ÷

, отсюда, используя

( p2 + a2 )2

свойство интегрирования оригинала, получим ∫t sin atdt ÷

, откуда

( p

+ a

)

∫t sin atdt =

(sin at − at cos at). Окончательно

+ a

( p

)

sin at

x(t) =

(sin at − at cos at) + x

cos at + x

= x

−

cos at

2a2

2a a

Пример 2. x′′′+3x′′+3x′+x=1, нулевые начальные условия.

(p+1) X(p)=1/p, X

( p) =

−

. Откуда

p( p + 1)3

p + 1

( p + 1)2

( p + 1)3

x(t) = 1 − e−t − te−t −

t 2

e−t

Пример 3. x′′′+x=1, нулевые начальные условия.

X ( p) =

Оригинал находим по второй теореме Хевисайда

p( p3 + 1)

x(t) = H (t)∑Re s

e pt

p( p

+ 1)

∑Re s = Re s

e pt

+ Re s

e pt

+ Re s

e pt

Re s

e pt

p( p

+1)

p( p

+1)

p( p

+1)

−1

0.5(1+i 3 )

0.5(1−i 3 ) p( p

−t

x(t) = 1 −

+ 2 Re

= 1 −

−

2 cos

− 3

Пример 3. x′′′+x=1, нулевые начальные условия.

(1 − i

X ( p) =

, z =

(1 + i 3), z

p( p3 + 1)

p( p3 + 1)( p − z )( p − z

)

По второй теореме Хевисайда

e pt

x(t) = H (t) Re s

+ Re s

p( p

+ 1)

p( p

+ 1)

p( p

+ 1)

p( p

+ 1)

−1

z 2

−t

z1t

= H (t) 1 −

+ 2 Re

− 3

Пример 4.

d 4 x

+ 2

2 x

+ x = sin t , нулевые условия. Используя 4 из таблицы,

dt 4

dt 2

получим X ( p) =

. По второй теореме

( p4 + 2 p2 + 1)( p2 + 1)

( p2 + 1)3

Хевисайда

x(t) = H (t) Re s

+ Re s

= H (t)2 Re

+ 1)

( p

+ 1)

( p + i)

i ( p

−i

p =i

H (t)

− t

) sin t

−

t cos t

Пример 5. x’’+ω2x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.

X ( p)( p2 + ω 2 ) =

−

e−bp , X ( p) =

a(1 − e−bp )

p( p2 + ω 2 )

÷ x(t) , по второй теореме Хевисайда

p( p2 + ω 2 )

p( p − iω )( p + iω )

ae pt

x(t) = H (t) Re s

+ Re s

p( p

+ ω

)

p( p

)

+ ω

)

iω

−iω p( p

= H (t)

+ Re s

p( p + iω )

−iω

p( p − iω )

p =iω

p = −iω

aeiωt

ae−iωt

= H (t)

−

2 cosωt

= H (t)

sin

ωt

iω 2iω

2ω

Свойство запаздывания дает

ae−bp

sin2

ω (t − b)

H (t − b)

p( p2 + ω 2 ) ω 2

ωt

2 ω (t − b)

Окончательно x(t) =

sin

H (t) − sin

H (t

− b)

Пример 6.

x′+ax=f(t), нулевые условия

X ( p) =

F ( p)

p + a

F ( p) ÷ f (t)H

(t),

÷ g (t )

= e− at H (t )

p + a

∞

F ( p)

÷ ( f * g )(t) = ∫ f (τ )H (τ ) g (t − τ )dτ = ∫ f (τ )H (τ )e− a (t −τ ) H (t − τ )dτ =

p + a

−∞

= ∫ f (τ )e− a (t −τ )dτ

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке ТФКП_1_2

#
11.05.20141.91 Mб54tfkp.pdf
#
11.05.2014255.18 Кб55tfkp2.pdf