«Теоретические» и феноменологические уравнения поля

Уравнение переноса описывает закономерности переноса вещества в различных его формах. Закон Фика для диффундирующих частиц (в частности, молекул, нейтронов, гамма-квантов) является одним из основных законов физической кинетики. Его формулировка:

, (8.93)

означает, что поток частиц в единицу времени пропорционален плотности (концентрации) частиц N и направлен в сторону, противоположную градиенту; коэффициент диффузии Д является коэффициентом пропорциональности (Д = Dv). Этот закон был установлен немецким физиологом А.Фиком (1855) экспериментально.

Приведенный выше вывод этого закона является теоретическим, устанавливающим одновременно ограниченность области его применимости. Можно привести ряд аналогов этого закона, установленных феноменологически для переноса вещества в различных его формах.

Для электрического тока (движения электрических зарядов) аналогом закона Фика является законом Ома (в дифференциальной форме):

, (8.94)

где j — плотность тока (сила тока, приходящегося на единицу поперечного сечения проводника),  – проводимость, U — потенциал, следует, что коэффициент диффузии нейтронов играет роль «нейтронной проводимости» вещества: чем больше коэффициент диффузии, тем меньше «сопротивление» замедлителя прохождению нейтронов данной энергии.

Для теплового поля тепловой поток определяется законом Фурье

= –  grad T, (8.95)

где – вектор плотности теплового потока,  – коэффициент теплопроводности, для изотропной среды являющийся скаляром.

Для жидкости, фильтрующейся в пористой среде, аналогом (8.93) является закон Дарси:

, (8.96)

где – количество жидкости с динамической вязкостью , прошедшей через единицу поверхности среды в единицу време­ни; k_пр – коэффициент проницаемости среды; P – давление.

Во всех рассмотренных примерах перенос вещества обусловлен наличием градиентов (концентрации, электрических потенциалов, температуры, давления).

8.3. Полный возраст, длина и время замедления нейтронов

Одной из важнейших характеристик горных пород является длина замедления , рассчитываемая через полный возраст нейтронов :

. (8.97)

Полный возраст нейтронов определяется как среднего квадрата расстояния , проходимого нейтроном в веществе при замедлении от начальной энергии до заданной конечной :

Рис.8.2. Схема, поясняющая физиче­ский смысл полного возраста нейтронов для моноэнергетического источника (по Д.А.Кожевникову).

(8.98)

Для замедлителей произвольного состава его величина рассчитывается по формуле

(8.99)

Физический смысл понятия полного возраста нейтронов вытекает из раскрытия смысла отдельных слагаемых формулы (8.99).

Величина есть не что иное, как фермиевский возраст [см. формулу (8.82)]. Она характеризует средний квадрат расстояния , проходимого нейтроном в процессе собственно замедления. Первый и последний члены соотношения (315) называются поправками за первый и последний пробег. Они описывают процесс движения нейтронов без изменения энергии.

Легко убедиться, что вклад в величину полного возраста , даваемый пробегом до первого столкновения, равен

(8.100)

Поскольку источник «рассеивает» нейтроны с начальной энергией изотропно, в выражение для поправки за первый пробег входит полная (а не транспортная) длина свободного пробега. С увеличением летаргии длина свободного пробега, как правило, резко уменьшается, поэтому вклад поправки за первый пробег весьма значителен и может достигать 30-40%.

Появление в формуле (8.99) поправки за последний пробег объясняется тем, что, уже замедлившись до заданной энергии, нейтрон проходит в замедлителе еще некоторое расстояние, сохраняя эту энергию. Эта поправка учитывает направленность движения нейтрона, унаследованную после последнего (анизотропного) рассеяния: сюда входит уже не полная, а транспортная длина свободного пробега. Величина этой поправки, как правило, значительно меньше поправки за первый пробег. Фермиевский возраст дает величину возраста на этапе собственно замедления. Таким образом, между полным и фермиевским возрастами существует не только количественное, но и качественное, различие.

Рис.8.3. Зависимость величины от объемного содержания воды в песчаниках (I) и в известняках (II) для Po-Be (1) и Po-B источников нейтронов (2).

На Рис.8.3 приведены рассчитанные по формулам (8.99) и (8.82) зависимости длины замедления нейтронов от объемного содержания воды в песчаниках и в известняках. На рисунке видно, что основное влияние на величину оказывает изменение водородсодержания (влажности) горных пород. Химический состав пород сказывается меньше. Его влияние на величину заметно проявляется лишь в породах низкого водонасыщения.

Основной характеристикой нестационарного распределения замедляющихся нейтронов импульсного источника является время замедления нейтронов до заданной летаргии . Величина этого времени находится из соотношения

(8.101)

где - промежуток времени, необходимый для увеличения летаргии нейтрона на величину ; - время свободного пробега между двумя столкновениями, определяемое соотношением , а - число столкновений в интервале .

Проинтегрировав выражение (316) по летаргии, получим:

(8.102)

где - замедляющая способность среды;

(8.103)

Из-за наличия под интегралом экспоненциально растущей функции летаргии величина интеграла в выражении (8.102) определяется поведением подынтегральной функции в окрестности верхнего предела. Вынося величину за знак интеграла, получаем:

при (8.104)

Из формулы (8.104) видно, что время замедления нейтронов определяется замедляющей способностью среды, которая при больших замедлениях не зависит от начальной энергии нейтронов и численно равно удвоенному времени свободного пробега (для конечной энергии), деленному на среднюю логарифмическую потерю энергии.

Для воды время замедления нейтронов до энергии 1 эВ составляет 1 мксек. В горных породах оно достигает сотен микросекунд.

Для газонефтяной геофизики интерес представляет зависимость параметров замедления нейтронов от водородосодержания в породообразую­щих минералах различных классов.

Результаты расчетов длины и времени замедления нейтро­нов показыва­ют, что даже в пределах одного класса минералы сильно различаются по своим замедляющим свойствам. Решаю­щую роль здесь играет содержание химически связанной воды.

Рис.8.4. Диапазоны изменений параметров замедления нейтронов в породообразующих минералах различных классов (по Д.А.Кожевникову).

В распределении минералов по величине параметров замедления L_s , t_s наблюдается определенная закономерность (рис.2.17). Независимо от класса минералы делятся на три группы: водородсодержащие (L_s < 20 см, t_s < 20 мкс), кислородсодержащие (но без водорода, 20 см < L_s < 40 см, 20 мкс < t_s < 55 мкс) и, на­конец, не содержащие ни водорода, ни кислорода (L_s > 40 см, t_s > 55 мкс).

При отсутствии водорода замедляющие свойства минералов определяются наличием кислорода. Из-за высокой распростра­ненности кислорода его содержания в различных минералах сравнимы: диапазон изменения параметров замедления для ми­нералов второй группы оказывается относительно узким. Наи­худшими замедляющими свойствами обладают минералы третьей группы – безводные галоиды, сульфиды и их аналоги, само­родные элементы.