48.Точечные параметры законов распределения

Во многих случаях мы располагаем информацией о виде закона распределения случайной величины (нормальный, бернуллиевский, равномерный и т. п.), но не знаем параметров этого распределения, таких как Mх, Dх. Для определения этих параметров применяется выборочный метод. Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда. Назовем выборочной средней величину

Величина называется относительной частотой значения признака х i-тое. Если значение признака. Полученные из выборки не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой

Естественно считать величину х(со – вверху) выборочной оценкой параметра, представляющая собой число, называется точечной оценкой.

Выборочную дисперсию

м ожно считать точечной оценкой дисперсии генеральной сов-ти.

50. Метод наиб правдоподобия.

Задача выборочного метода является оценка параметров ген. совок-сти по данным выборки. Оценкой θn параметра θ называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной X, с помощью которой судят о значении параметра θ. Поскольку Х1, Х2,..., Хn - случ вел, то и оценка θn (в отличие от оцениваемого параметра θ - величины неслучайной) является случ вел, зависящей от з-на р-я X и числа n. Св-ва оценок: Оценка θn параметра θ наз-тся несмещенной, если ее мат ожидание равно оцениваемому параметру. В противном случае оценка наз-ся смещенной. Несмещенная оценка наз-тся эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема n. Методы нахождения оценок: 1)Метод моментов - определ-е кол-во выборочных моментов (начальных ν_k или центральных моментов μ_k, или тех и других) приравнивается к соответствующим теоретич-м моментам р-я сл вел X. ν_k=∑Xi^k *pi, μ_k=∑(Xi-M(X))^kpi. 2)Метод max правдоподобия – выражает плоность вер-сти совместного появления результатов выборки х1,Х2,...,хn:L(x1,x2,…xi…xn; θ)=φ(x1,θ)*φ(x2,θ)…φ(xi,θ)…φ(xn, θ). Исследуем ф-я на max и min. Для этого исслед-ся ln (L(θ)). D lnL\dθ=0 – находим θ₀; d^2lnL\dθ – если <0 – то max, тогда θ= θ₀.

51. Интервальная оценка параметра распределения

Интервальной оценкой параметра распределения наз-ся числовой интервал (θ1,θ2), который с заданной вер-стью γ накрывает неизвестное значение параметра θ. Такой интервал наз-ся доверительным, а вер-сть γ - доверительной вер-стью. Наибольшее отклонение Δ оценки θ от оцениваемого параметра 0, в частности, выборочной средней (или доли) от генер-й средней (или доли), котор возможно с заданной доверительной вер-стью γ, наз-ся предельной ошибкой выборки. Она является ошибкой репрезентативности (представительства) выборки. Возникает вследствие того, что исследуется лишь часть совокупности. Теорема. Вер-сть того, что отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли) не превзойдет число Δ>0 (по абсолютной величине), равна: P(|Xср-Х₀ср|≤Δ)=Ф(t)=γ, где t=Δ\σ_x. P(|w-p|≤Δ)=Ф(t)=γ, где t=Δ\σ_w. Ф(t) - ф-я Лапласа. Среднее квадратическое отклонение выборочной средней ах σ_x и выборочной доли σ_w собственно-случайной выборки называется средней квадратической (стандартной) ошибкой выборки. Следствие 1. Δ=t*σ_x, Δ=t*σ_w. Следствие 2. Хср-Δ≤X₀ ср≤Хср+ Δ; w-Δ≤p≤w=Δ. Доверительный интервал для генеральной средней. Рассм. признак имеет норм-е р-е. 1)Доверит-й интервал для ген совокупности: P(|Xср-Х₀ ср|<Δ_м.в.)=γ=θ(t, k), где θ(t, k) – р-е Стьюдента, k=n-1 – число степ свободы. Δ_м.в=t_{γ, k} \k^0,5 - предельная ошибка малой выборки. Доверит-й интервал для ген средней: . 2)Доверит интервал для доли ген совокупности опред-ся по графику по данному объему n и по данной надежности γ. 3)Доверит интервал для дисперсии. , , - р-е хи квадрат.