15. Непрерывные распределения.
Равномерное распределение.
Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение. или .Отсюда, Итак искомая плотность вероятности равномерного распределения:
Экспоненциальное распределение.
Показательны (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью:
,
где
-
постоянная положительная величина.
Найдем математическое ожидание:
Интегрируя по
частям, получим:
.Найдем
дисперсию:
Интегрирую по
частям, получим
,
следовательно
.
.=>Математическое
ожидание и средне квадратическое
отклонение показательного распределения
равны между собой.
Нормальное распределение.
Нормальным называют
распределение вероятностей непрерывной
случайной величины, которое описывается
плотностью
.
Это распределение определяется двумя
параметрами
.
Достаточно знать эти параметры, чтобы
задать нормальное распределение.
есть
математическое ожидание, а
-
средне квадратическое отклонение
нормального распределения.
Нормированным
называют нормальное распределение с
параметрами
.
Плотность нормированного распределения
.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
17. Генеральная совокупность и выборка.
Понятие о выборочном методе.
Если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. В таких случаях случайно отбирается ограниченное число объектов, и подвергают их изучению.
Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральная совокупность.
Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.
Способы образования выборочной совокупности.
При составлении выборки можно поступить двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии с этим выборки подразделяются на повторные и бесповторные.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную
Бесповторной называется выборка, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Характеристики генеральной и выборочной совокупностей.
Выборочным средним
называют среднеарифметическое значение
признака выборочной совокупности.
Если все значения
признака выборки объема
различны, то
.
Если же значения
признака
имеют соответственно частоты
,
причем
,
то
или
.
Выборочной дисперсией
называют среднее арифметическое
квадратов отклонения наблюдаемых
значений признака от их среднего значения
.
Если все значения
признака выборки объема
различны, то
.
Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то
Выборочным средним
квадратическим отклонением
(стандартом) называют квадратный корень
из выборочной дисперсии:
Обычным эмпирическим
моментом порядка
называют среднее значение
-ых
степеней разности
:
.
Центральным
эмпирическим моментом порядка
называют обычный момент порядка
при
.
Репрезентативность.
Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно её представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование формулируется так: выборка должна быть репрезентативной.
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если её осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.
Плотность распределения рассчитывается как отношение частоты (ni) или частоcти (qi) к величине соответствующего интервала (hi). В зависимости от того, какое берется соотношение, различают абсолютную и относительнуюплотности распределения:
где fia- абсолютная плотность распределения; fio-относительная плотность распределения.