1.Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей однородных случайных массовых событий. Знание закономерностей, которым подчиняются случайных массовых событий, позволяет предвидеть , как эти события будут происходить.

Методы ТВ широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматического управления и во многих других теоретических и прикладных науках. ТВ служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей. Методы ТВ все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Задачи математической статистики.

Установление закономерностей, которым подчинены случайные массовые явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики — указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача математической статистики — разработать методы анализа статистических данных в зависи­мости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

2. Элементы теории множеств.

Понятие множества. Множество ­ это совокупность предметов (объектов или элементов), обладающих общим признаком.

Подмножество. Если любой элемент множества А принадлежит множеству В, то А называется подмножеством В. (АВ)

Объединение множеств. Сумма (объединение) двух множеств А и В есть множество А+В, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Пересечение множеств. Произведением (пересечением) множеств А и В называется множество А•В, которое состоит из элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В.

Дополнение. Отрицанием (дополнением) множества А называется множество состоящее из элементов, не принадлежащих множеству А.

Счетное множество ­ это множество все элементы которого можно пронумеровать.

Числовые множества. Это множества, элементами которых являются числа.

Д иаграммы Эйлера­Венна. Эйлер придумал способ изображения множеств. Он предложил элементы множеств изображать точками, а границу множества, которая отделяет его от других множеств, замкнутой кривой. Полное множество обычно изображают прямоугольником, а все фигуры разных множеств рисуются внутри этого прямоугольника.

Булева алгебра. А+А=А, А•А=А, А+ =Е, А• =.

3.Элементы комбинаторики.

Комбинаторика ­ это наука, которая вычисляет кол­во вариантов различных комбинаций каких либо элементов.

Правило сложения. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А , либо В можно n+m способами.

Правило умножения. . Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Размещения. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число размещений ­ это число вариантов выбора m из n элементов, когда порядок выбранных элементов важен: = n(n-1)…(n-m+1).Факториал n!= =1•2•3…n. Из определения n! Следует, что факториалы двух натуральных соседних чисел n и n+1 связаны формулой (n+1)!=n!(n+1). Заметим, что, если в равенство подставить n=0, то 0!=1.

Сочетания. Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний ­ число вариантов выбора m из n элементов, когда порядок выбранных элементов неважен:

= . =P_m

6.Случайные события.

Закономерность и случайность. Закономерность ­ это когда события происходят по определенному закону, т.е. подчиняются этому закону; и, зная этот закон, мы можем заранее узнать исход какого ­ либо события. Случайность ­ это когда события происходят сами по себе, не подчиняются никаким законам, и мы не можем предугадать их исход.

Случайные события. Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Каждое случайное событие есть следствие действия очень многих случайных величин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и др.). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их велико и законы их действия неизвестны.

Элементарные события ­ это каждый конкретный результат эксперимента.

Равномерные исходы.

Достоверное событие. Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» достоверное. Заданные атмосф. давл. и темп­ра составляют совокупность условий S.

Невозможное событие. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий: в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20.

Сумма, произведение и отрицание событий. А+В ­ случилось событие А или В; А•В ­ случилось событие А и событие В; А• ­ случилось А и не случилось В; +В ­ случилось не А или В; • ­ из двух событий ни одно не случилось.

7.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

Вероятность ­ функция, аргументом которой является не число, а событие.

Измерения величин (массы, температуры).

Симметрия и вероятность. Возможные, исключающие друг друга исходы опыта называются элементарными событиями. Если опыт таков, что его результаты подразделяются на конечное число элементарных событий, которые являются равно возможными (симметричными), то можно использовать классическое определение вероятности события А: P(A)=m/n, где m ­ число элементарных исходов, благоприятствующих А; n ­ число всех возможных элементарных исходов испытания.

Равновозможность. Это когда есть основания считать, что ни одно из событий не является более возможным, чем другое.

Измерение вероятности.

Те элементарные события, в которых интересующее нас событие наступает, называется благоприятствующим этому событию.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. P(A)=m/n. Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равно возможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие, ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события роена единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае т = п, следовательно, Р (А) = т/п = п/п = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае т — 0, следовательно, Р (А) = т/п = 0/п = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и еди­ницей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы­тания. В этом случае 0 < т < п, значит, 0<m/n<1, следовательно,0< Р (А)<1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двой­ному неравенству 0<= Р (А)<=1.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Геометрические вероятности ­ это вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и др.).

Когда события составляют непрерывное одномерное множество длиной D и существует симметрия, то есть все точки множества равноправны, то предполагается, что шанс выбрать точку из множества А пропорционален её длине d. Рассматривая множество А как случайное событие, вероятность можно определить формулой P(A)=d/D. Когда множество событий двумерно, то вместо длин в определение геометрической вероятности входят площади. Геометрическим определением можно пользоваться при равномерном распределении.

Статистическое определение вероятности. Пусть в l экспериментах, произведенных в одинаковых условиях, событие А произошло k раз. Нестрогой статистической вероятностью называется относительная частота: P(A)=k/l при большом числе испытаний

Сложение вероятностей несовместимых событий. Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из ору­дия произведены два выстрела и А—попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В—попадание при первом выстреле, или при вто­ром, или в обоих выстрелах.

В частности, если два события А и В—несовместные, то А + В—событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, кото­рое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий A, B, C, A и B, A и C, B и C, A и B и C.

Пусть события А и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A) + Р(В)

Доказательство. Введем обозначения: п — общее число возможных элементарных исходов испытания; т₁, — число исходов, благоприятствующих .событию А; т₂ — число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно т₁ + т₂. Следовательно, Р (А + В) = (т₁ + т₂)/n =. т₁/n+ т₂/n.

Приняв во внимание, что т₁/n= Р (А) и т₂/n= Р (В), окончательно получим P(A+B)=P(A) + Р(В).

Следствие. Вероятность появления одного из не­скольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:P(A1+A2+..+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).

Доказательство. Рассмотрим три события: А, В и С. Так как рассматриваемые события попарно несовместны, то появление одного из трех событий, А, В и С, равносильно наступлению одного из двух событий, А+В и С, поэтому в силу указанной теоремы.Р (А + В + С) = Р [(A +В) + С] = Р (А + В) + Р (С) = Р(А) + Р(В) + Р(С).

Для произвольного числа попарно несовместных событий доказательство проводится методом математической индукции.