Энергетические спектры атомов и теория Бора
Правило квантования, радиус n – ой орбиты электрона, его скорость на этой орбите и энергия электрона, формула Бальмера.
47. Найдите, во сколько раз длина волны излучения атома водорода при переходе из третьего энергетического состояния во второе больше длины волны излучения при переходе из второго состояния в первое.
Решение.
Используем два раза формулу Бальмера:
52. Найдите, во сколько раз уменьшится радиус боровской орбиты электрона в атоме водорода, находившегося в четвертом энергетическом состоянии, при излучении атомом фотона с энергией 2,55 эВ.
Решение.
Энергия излученного фотона
откуда
Радиус орбиты электрона прямо пропорционален квадрату номера орбиты. Следовательно,
53. Найдите, во сколько раз уменьшится, согласно теории Бора, скорость электрона в атоме водорода, находившегося в основном энергетическом состоянии, при поглощении им фотона с энергией 10,2 эВ.
Решение.
Энергия поглощенного фотона
откуда
Скорость электрона на орбите обратно пропорциональна номеру орбиты. Следовательно,
63. Найдите, во сколько раз, согласно теории Бора, должен уменьшиться орбитальный момент импульса электрона, находящегося в третьем энергетическом состоянии в водородоподобном ионе гелия, при излучении им фотона с импульсом, равным 4,04∙10-27 Н∙с.
Решение.
Энергия излученного фотона
С другой стороны
откуда
Орбитальный момент импульса электрона
Следовательно,
65. Электрон в атоме водорода поглощает фотон с длиной волны 600 нм, вследствие чего покидает атом и вдали от него имеет скорость 4,4∙105 м/с. Найдите номер энергетического состояния электрона в атоме перед поглощением фотона.
Решение.
Энергия фотона пошла на ионизацию атома (вылет электрона из атома) и осталась у электрона в виде его кинетической энергии. энергией иона (атома) пренебрегаем.
откуда
67. Водородоподобный ион гелия перешел из третьего энергетического состояния во второе. Найдите скорость «отдачи», которую получил ион в результате излучения фотона. Масса иона гелия 6,68∙10-27 кг.
Решение.
Применяем закон сохранения импульса, принимая импульс иона до излучения равным нулю. Тогда импульс отдачи иона по модулю будет равен импульсу излученного фотона.
откуда
Гипотеза де Бройля
77. Найдите длину волны де Бройля для молекулы водорода, движущейся со средней квадратической скоростью при 20°С. Масса молекулы водорода 3,34∙10-27 кг, постоянная Больцмана 1,38∙10-23 Дж/К.
Решение.
Находим среднюю квадратическую скорость молекулы водорода по формуле
При такой скорости молекула является классической частицей с импульсом
Отсюда
78. Найдите длину волны де Бройля электрона, двигающегося со скоростью 0,98 c.
Решение.
Электрон является релятивистским, следовательно, его импульс
Отсюда
79. Найдите, во сколько раз комптоновская длина волны частицы больше длины волны де Бройля этой частицы, когда она двигается со скоростью 0,98 c.
Решение.
Частица является релятивистской, следовательно, ее дебройлевская длина волны вычисляется по формуле
а комптоновская длина волны – по формуле
откуда
81. На большом адроном коллайдере протоны разгоняются до энергии 3,5∙1012 эВ. Скорость их при этом всего лишь на 0,01 % отличается от скорости света, и их кинетическая энергия много больше их энергии покоя. Найдите длину волны де Бройля таких частиц.
Решение.
Приравняем энергию этих частиц к их кинетической энергии, откуда их импульс будет равен
Тогда длину волны де Бройля этих частиц будет равна
82. Найдите отношение кинетической энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя, если длина волны де Бройля этой частицы равна ее комптоновской длине волны.
Решение.
Из равенства указанных длин волн
получим
откуда
Тогда отношение кинетической энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя будет равно
