Модуль вектора. Длина вектора.
Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора. Для обозначения модуля вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.
Модуль вектора (длина вектора) |
a
| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Так в случае плоской задачи модуль вектора можно найти по следующей формуле |\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_1^2+y_1^2}.
Пример вычисления модуля вектора (длины вектора) Найти длину вектора \overrightarrow{a} = \{2;4\}. Решение: |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Так в случае пространственной задачи модуль вектора \overrightarrow{a} = \{x_1;y_1;z_1\} можно найти по следующей формуле |\overrightarrow{a}| = \sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.
Пример вычисления модуля вектора (длины вектора) Найти длину вектора \overrightarrow{a} = \{2; 4; 4\}. Решение: |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2+4^2+4^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6.
Ортогональные векторы. Ортонормированный базис.
Определение. Два вектора
называются ортогональными, если угол
между
ними равен прямому углу, т.е.
.
Обозначение:
–
векторы
и
ортогональны.
Определение. Тройка векторов
называется
ортогональной, если эти векторы попарно
ортогональны друг другу, т.е.
,
.
Определение. Тройка векторов
называется
ортонормированной, если она ортогональная
и длины всех векторов
равны единице:
.
Замечание. Из определения следует, что ортогональная и, следовательно, ортонормированная тройка векторов является некомпланарной.
Определение. Упорядоченная некомпланарная
тройка векторов
,
отложенных от одной точки, называется
правой (правоориентированной), если при
наблюдении с конца третьего вектора
на
плоскость, в которой лежат первые два
вектора
и
,
кратчайший поворот первого вектора
ко
второму
происходит
против часовой стрелки. В противном
случае тройка векторов
называется левой (левоориентированной).
рис.6.
Здесь, на рис.6 изображена правая тройка векторов . На следующем рис.7 изображена левая тройка векторов :
рис.7.
Определение. Базис
векторного
пространства
называется
ортонормированным, если
ортонормированная
тройка векторов.
Обозначение. В дальнейшем мы будем
пользоваться правым ортонормированным
базисом
,
см. следующий рисунок:
рис.9.
Любой вектор можно разложить по этому базису:
.
10
Определение скалярного произведения
Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.
Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,
Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a| cos=пр ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр ab, то получаем:
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.