Тема: Математический пакет mathcad

В настоящее время для разных тех-расчетов используются многие пакеты. Разработано math soft Inc (USA).

Встроенный графический редактор.

Позволяет выполнить расчеты. Мощный текстовый редактор. Вычислительный процессор. Графический и символьный процессор. Библиотека интерактивных электронных книг. Этот пакет позволяет не писать проги, а использовать готовые шаблоны для решения задач. Не требуется бурной мозговой деятельности.

Окно mathcad:

- Панель инструментов (расположение всех необходимых инструментов). Присутствие центрального поля, на котором можно поставить курсор и начать вычисления.

Кнопки панели инструментов:

Кнопка с калькулятором - простейшие математические действия.

Больше, меньше или равно, производные, матрицы, программирование, символьное вычисление. Открытие каждой палитры символов.

Работа с документами.

Документ представляет собой совокупность нескольких областей, каждая из которых может быть текстом, математическим выражением, фрагментом текста или графическим изображением. Эти объекты можно настроить по отображению. Если нужно их отображение, то можно воспользоваться меню - вид - области.

Режимы работы - автоматический и ручной. Автоматический производит вычисления сразу после нажатия кнопки равно, а ручной - только после нажатия F9. Установка режима вычисления происходит после установки инструменты - вычисления.

Ввод инфы осуществляется в любом месте, где находится курсор.

Ввод переменных. Построение и редактирование математических выражений.

Дробная часть от целой отделяется точкой.

Последовательное определение расчетов. Слева-направо и сверху-вниз. Использование подстрочных индексов. Для вычисления результатов используется знак равно. Автоматический режим.

Для вычисления значений дискретного аргумента.

Пример: ---

Если шаг переменной равен единице, то его можно и опустить. Для ввода текста используется либо двойная кавычки, либо вставка - текстовая область.

Массивы.

Массивом называю упорядоченные последовательности чисел. Массив можно представить как таблицу, имеющую n строк и m столбов. Такой массив называется матрицей. При n1 матрица есть вектор.

Для создания матрицы необходимо ввести название, символ присвоить и выбрать команду вставка матрицы. Ctrl+F - панель создания и редактирования матриц (или кнопка с квадратными скобками и равно). Заполнение матрицы с ручным вводом чисел.

Создание матриц

Появление окна задания параметров матрицы по размерам.

Появление шаблона после нажатия OK. Ручное введение элементов матрицы.

Нумерация строк и столбцов матриц, а также элементов вектора начинается с нуля, если не указано иное. Иное указывается с помощью переменной origin.

Обращение к столбцу матрицы - Ctrl + 6. Эту же команду можно выполнить с помощью кнопки на панели матриц.

Добавление или удаление столбцов и строк - установка курсора на элемент, правее и ниже которого будет осуществляться вставка. Вызов команды матрицы. Изменить число удаляемых столбцов или строк. Удаление начинается с выбранных элементов в том случае, если их число задается большим, чем число выделенных элементов.

Кнопки, связанные с редактированием матриц

- Создание

- Обращение к элементу

- нахождение обратной матрицы

- определитель матриц

- Извлечение столбца

- скалярное умножение

- векторное умножение

- суммирование элементов

Для проведения вычислений есть ряд встроенных функций для работ с матрицами и векторами. Вставить - функцию.

rows - число строк в массиве

cols - число столбцов

lenth - число элементов в векторе

last - индекс последнего элемента в векторе

Max - самый большой элемент в массиве

min - наименьший элемент в массиве

Чувствительность к регистру. Имена переменных чувствительны к шрифту.

Вычисления с матрицами и векторами. Произведение матрицы на вектор - между ними ставится знак умножения. Транспонирование матрицы и вектора - замена строк столбцами. Вычисления определителя матрицы и нахождение

Вычисления определителя матрицы через число строк и столбцов. Число элементов вектора, а номер последний равен двум.

Логические функции.

If.

Наличие всех необходимых математических функций. Аналогично если в excel и те же самые операторы для записи выражений. Все они находятся на булевой панели.

Для обозначения логической операции и служит символ звездочки. Для обозначения функции или - знак +.

При совмещенном условии обязательно выполнение обоих. Проставляются они в скобках через знак умножения. Для выполнения одного из двух условий ставится символ +.

Создание графиков.

Для создания графика необходимо рассчитать значение функции, установить курсор в нужное место в документе. Либо выбрать график из палитры графиков. Кнопка @. В появившемся шаблоне заполнить поля именами аргумента и функции.

Построить график функции в декартовой системе координат:

- определить функцию

- задать область изменения документа. Использование символа диапазона (две точки, расположен в группе инструментов матриц)

Затем выбираем а палитре графика декартов график и заполняем шаблон.

Для форматирования графика необходимо дважды щелкнуть по графику. Появится окно, в котором есть 3 вкладки: оси, подписи и линии.

Установка линий сетки.

Используют вкладку аксов - осей. Убрать флажки автосетки. Установить линии сетки с назначением размера сетки.

Вкладка линий - трейсов. Возможно изменить параметры линий графика.

Метки - лейблы. Задание названия диаграмм и подписи осей.

Построение нескольких кривых на одном поле графика:

- определить все функции

- задать область изменения всех графиков

При изменении графика и заполнении полей шаблона имена функций и аргументов печатаются через запятую.

Отформатим график. На вкладке стиль оси - метка равные масштабы. Масштаб одной и другой функции должны быть равны.

Полярная система координат.

Задаем функцию и область изменения аргумента. На панели графики выбираем полярный график.

Создание трехмерного графика:

- открыть область построения трехмерного графика и в поле шаблона графика напечатать имя функции (Ctrl+2)

Пределы изменения будут измерены на отрезке от -5 до 5

Пример построения графика пределы изменения по осям находятся в границах от -5 до 5

Для изменения пределов аргумента необходимо выполнить двойной щелчок по графику левой клавишей мыши, выбрать в окне последнюю вкладку и задать начальное и конечное значение по осям икс и игрек.

После закрытия окна будет уже установлен новый предел.

Символьные преобразования:

Способы символьных вычислений и символьная алгебра.

Способы символьных вычислений:

- меню команд символики

- операторы символьного ввода (символьное вычисление в реальном времени)

Результаты бывают разными

Первый способ наиболее удобен для быстрого получения аналитического результата. Для однократного использования, не сохраняя сам ход вычисления. Второй - более нагляден, так как позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах mathcad.

Кроме того, аналитические преобразования через меню касаются только одного выделенного в данный момент выражения. Соответственно на них не влияют формулы, находящиеся в документе выше выделенного выражения.

При использовании первого способа необходимо: ввести выражение, выделить его цветом и выбрать в главном меню пункты. (Разложить) - раскладывает на множители исходное выражение.

Символьные операции с помощью меню возможны лишь над каким-либо объектом. Необходимо выделить цветом тот объект, к которому оно будет относиться.

- Для выполнения символьных преобразований с использованием символьного знака равенства надо:

Ввести выражение, которое нужно вычислить

Заключить его в рамку,

Ввести оператор символьного вывода либо Ctrl+?.

Щелкнуть мышью вне выражения либо Enter

Может быть выполнена одна операция из определенного набора. Если выражение не может быть преобразовано, то оно будет возвращено в прежнем виде.

Символьная алгебра.

Упрощение выражений, разложение на множители, символьное суммирование и перемножение.

Символы, стиль вычислений

- Вертикально, вставляя строку

- -/- без -//-

- горизонтально

- отображение комментариев.

Упрощение выражений - приобретение выражением более простой формы. Использование различных арифметических формул, тригонометрические тождества, пересчет, обратных функций, приведение подобных слагаемых и т.д.

Для упрощения выражения при помощи оператора символьного вывода используется ключевое слово simplify. Если некоторым переменным, входящим в выражение, ранее были присвоены некоторые значения, о они будут подставлены в него при выполнении символьного вывода.

Разложение выражения. Операция противоположна операции упрощения. Раскрытие всех сумм и произведений, а сложные тригонометрические зависимости разлагаются с помощью тригонометрических тождеств.

При помощи оператора символьного вывода и ключевого слова expend.

Разложить по степеням.

Expend expression

Разложение на множители

Операция позволяет разложить полиномы на произведение более простых полиномов, а целые числа на простые сомножители. Перед вызовом команды нужно выделить выражение, или целую часть, которую нужно разложить на множители.

Приведение подобных слагаемых

Выделить выражение, привести подобные, символика - привести подобные

Относительно переменной будет получено выражение внизу. Выведение проводится относительно какой-либо переменной.

Коэффициенты полинома. Если выражение является полиномом относительно некоторой переменной, заданной не в обычном виде, а как произведение других более простых полиномов, то коэффициенты легко определяются символьным процессором. Для этого надо ввести выражение, выделить имя переменной и выполнить команду символика - коэффициенты полинома.

Ряды и произведения

Выделить выражение, в зависимости от желаемого стиля символьных вычислений, выбрать команду символика - упростить и ввести оператор символьного ввода.

Разложение на элементарные дроби:

Выделение переменной, по которой будет проводиться разложение,

Дифференцирование

Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной необходимо выделить переменную, символика-переменная-дифференцировать.

Использование символьного знака равенства или использование знака (d/dx)

Для вычисления неопределенного интеграла от некоторого выражения по определенной переменного необходимо выделить переменную и выполнить команду символика / переменная / интегрировать.

Символьное преобразование можно делать с использованием знака интеграла.

Разложение в ряд.

С помощью символьного процессора модно получить разложение в ряд Тейлора. По любой переменной икс в точке х равной 0, т.е. представить выражение в окрестности точки х суммой вида

Где а - некоторые коэффициенты, не зависящие от х. Чтобы разложить в ряд, необходимо ввести выражение, выделить значение переменной, и выполнить команду символика / переменная / разложить в ряд. В появившемся окне ввести порядок аппроксимации

Вычисления в пакете MathCAD.

Приближенное вычисление интеграла

Необходимо задать интеграл, подынтегральное выражение, пределы интегрирования.

Определяем подынтегральную функцию, вычисляем интеграл.

В символьном виде с использованием знака символьного преобразования.

Алгебраические уравнения и системы в пакете mathcad. Решение алгебраического уравнения.

Для решения одного уравнения с одним неизвестным f(x) равное 0 используются функции root (корень) (выражение),

Где f(x) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение, которое возвращает скалярное значение????

Функция root возвращает значение х, при котором ф от х равно 0. Для нахождения корня используется численный метод.

Поэтому перед использование функции root переменной х необходимо присвоить начальное значение. Если функция f(x) имеет несколько корней, то найденное значение будет зависеть от начального приближения для переменной и будет найдено то значение корня, в окрестности которого задано начальное приближение.

Иногда удобнее задавать не начальное приближение, а интервал ab, внутри которого заведомо находится корень. В этом случае используют функцию root(f(x),x,a,b)

При использовании функции root необходимо помнить следующее:

Внутри интервала не должно находиться более одного корня и значения функций должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Решение алгебраических уравнений в виде полинома. Находятся все корни алгебраического уравнения.

Решение уравнения с использованием символьного знака равенства.

Для этих челий можно использовать функцию root и функцию find.

При символьном решении эти функции не требуют начальных приближений.

Поиск корней на всей числовой оси задать промежуток поиска от минус до плюс бесконечности вместо точек а и б. Корни уравнения можно сразу же записать в матрицу.

Решение уравнений в пакете excel

Найти корни полинома. Известно, что графическим решением уравнения является точка пересечения графика функции с осью абсцисс, т.е. такое значение х, при котором функция с осью абсцисс обращается в ноль.

Нахождение корней полинома методом последовательных приближений

- вкладка офиса / параметры excel / формулы установить

- предельное число итераций 1000

- относительная погрешность 0,0001

На вкладке Данные в группе инструментов работа с данными - анализ "что-если" - подбор параметров.

В поле установить в ячейке дается ссылка на ячейку дается ссылка на ячейку, в которую введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения (уравнение должно быть записано так, чтобы его правая часть не содержала переменную). В поле значение вводим правую часть уравнения. В поле изменения значения ячейки дается ссылка на ячейку, отведенную под переменную. Приближенное значение будет выведено в значение изменяемой ячейки. Два оставшихся корня находятся аналогично. Результаты вычислений будут помещены в нижние ячейки.

Сложные уравнения с применением экспоненты и переменной е разбиваются на 2. Решение будет находиться в точках пересечения графиков этих функций.

Необходимо задать диапазон изменения значений. График строится через точечный (в гистограммах).

Подбор параметров.

Уравнения заданной? ?? точности.

Второе можно определить на интервале методом последовательных приближений. Установить значение в ячейки, сам значок само значение, рзм-ыемую ячейку.

Результат будет выведен в ячейке.

В маткаде для решения уравнений. По умолчанию эта константа равна 0.001. При желании это значение можно и изменить. Чем меньше константа,

Решение систем уравнений

Система уравнений н-го порядка имеет вид многоуровневого полинома

Порядок решения систем уравнений

Задать порядок значения для всех неизвестных, входящих систему.

Напечатать ключевое слово given, которое показывает начало вычислительного блок. Ввести уравнения и неравенства в любом порядке ниже ключевого слова. Между левыми и правыми частями уравнения используют символ булевого равно. Ввести выражение, которое включает функцию нахождения find число аргументов должно быть равно числу неизвестных. В виде вектора будет выдано решение.

Оба уравнения в системе заданы неявно. И для построения графиков функций необходимо разрешить заданное уравнение относительно переменной у.

Задаем диапазон изменения икса шагом 0.1 и построить графики через маткад.

Для первого корня начальное применение???

Выводим вектор для коэффициентов.

Решение систем нелинейных уравнений с помощью функции Minner. Эта функция используется, если ????? Но, если в результате поиска решения не может быть получено дальнейшее значение, ?????

Найдены координаты точки, лежащей на равном расстоянии от каждой из окружностей.

Алгоритм решения этого уравнения аналогичен, отличия есть лишь в функциях.

Еще один способ решения линейных уравнений матричным способом.

Для решения систем уравнений можно воспользоваться из векторно-матричным представлением. Обозначим матрицу коэффициентов системы 1 через А. Матричный полином. Вектор свободных членов обозначается через Б, вектор неизвестных через Икс. В матричном виде система уравнений будет выглядеть в качестве его значения А и Икс, равным Б. при условии, что дискриминант матрицы не равен нулю, находим вектор неизвестных по формуле, равный обратной матрице А умножить на Б.

Пример: решить систему линейных уравнений.

Функция lsolve(A,B)

Решение систем линейных уравнений в символьном виде.

Пишется ключевое слово given. Результат получаем с использованием символьного знака равенства и функции find. Если в качестве свободных членов используются а, б и ц, то результат будет представлен в матричном виде.

Решение систем линейных уравнений в электронных таблицах excel. В excel существует ряд встроенных функций, позволяющих выполнять матричные вычисления. Под матрицей в excel следует понимать диапазон ячеек на рабочем листе.

ТРАНСП(Х) - транспонирует матрицу X

МУМНОЖ(Х,У) - произведение матриц

МОПРЕД(Х) - определитель матрицы

МОБР(Х) - обратная матрица

Для вычисления суммы используется знак +, для произведения *.

Для ввода матричной функции:

- Выделить на рабочем листе таблицы необходимый диапазон ячеек.

- Ввести необходимую формулу

- Нажать комбинацию клавиш Ctrl + Enter

После этого неправильно введенная формула заключается в фигурные скобки, что свидетельствует о том, что формула введена в каждую ячейку выделенного диапазона.

При использовании матричных функций в качестве их аргументов можно использовать символические имена соответствующих диапазонов ячеек. Для того, чтобы присвоить это имя, необходимо выделить диапазон и в окне имени ввести новое имя диапазона.

Таким образом, если присвоить диапазону с матрицей имя Matr1, а диапазону для транспонируемой матрицы - Vec то в формуле будут использоваться эти названия.

Решение системы уравнений в пакете excel с помощью инструмента

Поиск решения позволяет решать не только оптимизационные задачи, но и обычные уравнения и системы уравнений.

Вкладка данные, вкладка анализ, кнопка поиск решения

Подключить поиск решения можно через кнопку офис, кнопка параметров excel, надстройки, кнопка перейти.

В появившемся окне ставим флажок перед параметром поиска решения.

Задачу решения системы уравнений можно сформулировать одним из следующих способов:

1 - поиск минимума или максимума функции(1)

При системе ограничений, заданной в виде равенств (2)

2 - найти минимум функции (3)

В этом случае задача решается без ограничений.

Пример:

Решить систему уравнений (4)

Найдем графическое решение от этой системы

Уравнения системы заданы неявно и для построения графиков функции соответствующих уравнений, необходимо разрешить заданные уравнения относительно переменной у.

Для первого уравнения системы имеем:(5)

Выясним область допустимых значений полученных функций (6)

Второе уравнение данной системы описывает окружность.

Введем в ячейки рабочего листа расчетные формулы, построим графики функций и определим точки их пересечения (7)

Введем начальные значения переменных х и у, формулы, отображающие уравнение системы и функцию цели в ячейки рабочего листа: (8)

Теперь дважды воспользуемся командой данные / поиск решения, заполняя появляющиеся диалоговые окна. (9)

Для второго корня поиск решения : (10)

Результат вычислений: (11)