7. Елементарні та неелементарні функції.

Функція у=f(x), задана на множині Х, називаєтсья елементарною, якщо її можна задати з допомогою у=f(x) так, щоб її значення, при будь-якому х може бути одержане з допомогою скінченного числа елементарних операцій (+, -, *, /, а^х, корінь з а, логарифм з а^х. Обчислення значень тригонометричних та обернено-тригонометричних функцій, при чому, число операцій, самі операції, та порядок їх виконання – не залежать від значення аргументу х. До елементарних функцій відносяться всі основні елементарні функції (степенева, показникова, логарифмічна, тригонометрична і обернена тригонометрична, а також функції, одержані із них, з допомогою скінченного числа елементарних операцій).

8. Числова послідовність та її границя.

Числова послідовність – це функція, задана на множині натуральних чисел. Ця функція ставить у відповідність кожному натуральному числу n=1,2,3... деяке дійсне число x_n, тобто x_n = f(n) (1). Формула (1) задає числову послідовність {x_n}, x₁, x₂, x₃... x_n, - (2) – це інша форма запису числової послідовності (1), при цьому числа x₁, x₂ – називається членами числової послідовності, а x_n – загальний член числової послідовності. Отже числову послідовність можна задати, або з допомогою формули її загального члена, або в розгорнутому вигляді (2), але в останньому випадку не завжди буває записано x_n, тоді виникає необхідність, проаналізувавши закономірність за якою одержали x₁, x₂, x₃... x_n, і т.д., в залежності від значень n, побудувати формулу (1).

Границя. Означення (1): число а називається границею числової послідовності {x_n}, при n, якщо для будь-якого, як завгодно малого додатного числа е існує таке натуральне число N, залежно від е, що для всіх номерів n>N, виконується нерівність | x_n – a | < e, при цьому записують: lim x_n . Означення (2) – числова послідовність, яка має скінченну границю називається збіжною, в противному x-> випадку, послідовність називають розбіжною. Якщо число а – границя послідовності x_n, то говорять, що послідовність збігається до числа а.

Теорема 1. (Необхідна умова існування границі числової послідовності) : якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Теорема 2. (Достатня умова існування границі числової послідовності) : будь-яка монотонна числова послідовність має границю.

Теорема 3. (Про єдиність границі числової послідовності) : будь-яка послідовність має не більше однієї границі.

9. Границя функції, властивості границі.

Означення 1 (на мові e, б) – число А називається границею функції f(x), при ха (або границею функції в точці а), якщо f(x) – визначена в деякому околі точки a, за вийнятком, можливо, самої точки А і якщо, для будь-якого, як завгодно малого, наперед заданого додатного числа е, існує таке число , залежне від е і додатне, що для всіх х, які задовольняють нерівність |x-a| < , для функції f(x) виконується нерівність | f(x) – A < e|, при цьому записується А=lim f(x). Зауваження: значення а і А можуть бути як скінченними, так і нескінченними, тому можна розглядати

ха випадки скінченних, або нескінченних границь функції f(x) в точці а або на  (а = ). Нескінченно мала, або нескінченно велика границя, якщо границя = 0 ().

Означення 2 (на мові послідовності) – число А називається границею функції a в точці А, якщо вона визначена в деякому околі точки а, за вийнятком, можливо, самої точки А. Якщо для будь-якої послідовності x_n, її аргументів, збіжної до числа а відповідна послідовність значень функції, збігаються до числа А.

Теорема: якщо змінна величина – нескінченно мала, то обернена до неї величина – нескінченно велика і навпаки.

Зауваження: зміст цієї теореми виражається такими записами: 1/0=; 1/=0.

Теорема про границі: нехай функції f(x) та (x) визначені в деякому околі точки а і мають скінченні границі lim f(x)=A; lim f(x)=B, тоді границя суми, різниці, добутку та частки цих функцій існує і = відповідно сумі, різниці, добутку x->0

x

В частинному випадку, якщо f(x)=const=c -  x є D(f), то lim f(x) = limC=C

Наслідок: limC*f(x)=C*lim f(x) (C=Const) x->a x->a

x->a x->a

Тобто постійний множник виноситься за знак границі.

->0 та частці цих границь, тобто:

1) lim [f(x)  (x) ] = [ lim f(x) ]  [ lim (x) ]=AB

x->a x->a x->a

2) lim [f(x) * (x) ] = [ lim f(x) ] * [ lim (x) ]=A*B

x->a x->a x->a

3) lim f(x) / (x) = lim f(x) / lim (x)=A/B

x->a x->a x->a

Теорема 2: Про граничний перехід в нерівностях. Якщо для всіх значнь х із деякого околу точки а, за вийнятком самої точки для функції f(x) та (x) виконується нерівність f(x) < (x), то lim f(x) = lim (x). Зауваження: ця теорема справедлива і для випадків нерівностей (, >, ).

Теорема 3: Ознака існування границі функції (принцип двох міліціонерів). Якщо для всіх значень ха із деякого околу точки а виконується нерівність (x)  f(x) g (x); при цьому lim (x)=lim g(x) = A, то lim f(x)=A.

x->a x->a x->a