1. Основні поняття теорії множин.

Множина – це сукупність об'єктів спільної природи. Її можна задати списком, тобто переліком її елементів, або вказавши спільну для елементів множини ознаку чи властивість. Множина називається скінченою або нескінченною, в залежності від того скінчену чи нескінченну к-ть елементів вона містить. Для позначення множин – А,В, для позначення елементів множини а,b. Множина, що не містить жодного елемента називається порожньою і позначається .  є А ( - є елемент множини А, є – символ приналежності). А – множина називається підмножиною множини В, якщо вона складається з усіх, або деяких елементів множини В, при цьому записується А с В

(с – символ включення). А с А – будь яка множина є підмножиною самої себе. Дві множини А та В називаються рівними А=В, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В і навпаки.

(Приклад: А={x є R : -1  x  2}. А є множиною дійсних чисел, що задовольняють таку нерівність. Задати таку множину списком – неможливо. ē – не належить.  - квантор загальності і читається так: для кожного, для будь-якого, для всіх.  - квантор існування.  - не існує.

 і  - символ об'єднання і перетину множин, при цьому об'єднанням двох множин А та В називається множина С, С= А  В, яка складається з елементів, що належать, хоча-би одній множині А та В. Графічно об'єднання двох множин можна зобразити за допомогою діаграми Вєнни. Перетином двох множин А та В називається множина С, С = А  В, яка складається з елементів, що належать і множині А і множині В. Різницею двох множин А та В називається множина С, С = А \ В, яка складається з тих елементів множини А, які не належать множині В.

Зауважимо, що А с В; В с С => А с С – властивість транзиторності. => – символ для позначення слова "випливає". <=> – знак рівносильності.

2. Абсолютна величина дійсного числа.

Абсолютна величина дійсного числа х називається саме число, якщо воно невід'ємне і протилежно йому число, якщо задане – від'ємне. ( Приклад: |a| = { a, якщо а  0; -a, якщо а < 0 ).

Абсолютна величина дійсного числа (модуль) має такі властивості:

1) |x|   <=> -   x   2) |xy| = |x| |y| 3) |x / y|= |x| / |y| 4)|x+y|  (не більше) |x|+|y|

5) |x-y|  (не менше) |x|-|y|

Числові проміжки.

Між множиною дійсних чисел та множиною точок числової прямої встановлюється взаємно-однозначна відповідність, тобто кожне число зображується однією точкою числової прямої і навпаки.

1) [a;b] = { x є R : a  x  b } 2) [a;b [ = [a;b) = {x є R; a  x < b} 3) ]a;b] = (a;b] = x є R; a < x  b

4) ]a;b[ = (a;b) = x є R; a < x <b 5) - < x < +

Околом дійсного числа (точки х) називається будь-який інтервал, що містить цю точку. Епсилон околу точки х називається інтервал довжиною 2 з центром в цій точці. Якщо значення х попадають в епсилон-околу цієї точки, то це означає, що виконується нерівність |x|<  <=> - < x <

3. Поняття функції та способи її задання.

Розглянемо дві числові множини х і у, якщо кожному значенню х, за деяким правилом, або законом f, ставлять у відповідність конкретне значення y є У, то говорять, що на множині х задана числова функція із значенням в множині У, при цьому записують у = f(x). Х – область визначення функції D(y) – це множина таких дійсних значень х, при яких вираз f(x) існує. Зауважимо, що так сформульовані означення функції передбачає однозначну відповідність між елементами множини х і у. Способи задання функції:

1) Табличний – представляє собою таблицю виду в якій в порядку зростання вказані значення аргументу х та відповідні їм значення самої функції. Переваги: для вказаних в таблиці значень аргументу вдомі відповідні значення функції. Недоліки: в тому, що для відсутніх вказаних в таблиці значень аргументу, ми не можемо вказати відповідні значення функції.

2) Графічний – графіком функції у = f(x), називається лінія, побудована в декартовій системі координат, яка описується рівнянням у = f(x) і має таку властивість: будь-яка пряма паралельна осі ОУ перетинає цю лінію не більше ніж в одній точці, при цьому відповідність між значеннями х і у з допомогою графіка встановлюється так, як на малюнку.

3) Аналітичний – цей метод представляє собою задання функції за допомогою формули, яка описує закон відповідності між х та у. При цьому аналітичний спосіб задання функції передбачає:

а) описати з допомогою формули функцію задану явно у = f(x) (1). Тобто формула (1) показує (її права частина) які операції, в якій послідовності треба виконати над аргументом х, щоб знайти відповідні йому значення у. Зауважимо, що явно задані функції можуть описуватися однією формулою виду (1) для всіх значень аргументу функції із області визначення, або задаватися різними формулами для різних проміжків області визначення. у = {x, x  0; 2, x > 0} (2). Аналітичний спосіб передбачає задання неявних функцій, при цьому говорять, що функція у = f(x) задана неявно, якщо залежність між х і у задається за допомогою рівняння F(x;y(x))=0 (3). Отже явно задану функцію у = f(x) завжди можна задати і неявно. у = f(x) <=> y-f(x)=0, але не завжди неявно задану функцію можна буде описати явно, тобто перехід від рівняння (3) до (1) – не завжди можливий. (Приклади: 1) y+x³-4=0; y=4-x³ 2) ^xy + y² = 0 – описати явно неможна).

4) Словесне - існують випадки функцій в яких залежність між х та у неможливо виразити якоюсь аналітичною формулою, але можливо описати закон відповідності між х та у словами. Прикладом такої функції є функція, яка має назву Антьє від х (ціла частина дійсного числа х), яка позначається одним із символів Е(х) і дорівнює [x]. Визначається так: кожному дійсному значенню х ставить у відповідність ціла частина цього дійсного числа.