8.4. Совместные и совокупные измерения

Эти виды измерений характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитывают по системе уравнений, связывающих их с некоторыми другими величинами, определяемыми посредством прямых или косвенных измерений. При этом измеряются несколько комбинаций значений указанных величин. Каждая такая комбинация позволяет получить одно уравнение, а система содержит всю информацию о значениях искомых величин и имеет вид

где F; — символ функциональной зависимости между величинами в i-м опыте; i=1; 2;...; n; n — число опытов; Q_j — значения искомых величин, общее число которых равно m; Х_г⁽ⁱ⁾ — полученные в i-м опыте значения k величин, измеряемых прямыми или косвенными методами.

Если Q_i являются значениями одной и той же величины, то измерения называются совокупными, если разных физических величин, — то совместными.

После подстановки в исходную систему уравнений результатов Х_r⁽ⁱ⁾ прямых или косвенных измерений и проведения необходимых преобразований получим n уравнений, содержащих лишь искомые величины и числовые коэффициенты:

Такие уравнения называют условными.

Для того чтобы рассчитать значения искомых величин, достаточно иметь m уравнений, т.е. столько же, сколько содержится неизвестных. Тогда результаты измерений и доверительные границы их погрешностей можно найти методами обработки результатов косвенных измерений. Однако обыкновенно для уменьшения погрешностей результатов измерений делается значительно больше измерений, чем это необходимо для определения неизвестных, т.е. n > m.

Вследствие ограниченной точности определения величин Х_г условные уравнения одновременно не обращаются в тождества ни при каких значениях искомых величин. И поскольку найти истинные значения искомых величин невозможно, то задача сводится к нахождению их оценок, представляющих собой наилучшие приближения к истинным значениям. Предположим, что Q̃_j , где j =1, 2, ..., m, наилучшие приближения к неизвестным Q_j. Если значения этих оценок подставить в условные уравнения, то их правые части будут отличаться от левых. Для получения тождеств нужно записать:

(8.9)

где v_i — величины, называемые остаточными погрешностями условных уравнений. Если в систему условных уравнений подставить истинные значения искомых величин, то остаточные погрешности превратятся в случайные погрешности условных уравнений. Одним из наиболее общих способов отыскания оценок истинных значений измеряемых величин является регрессионный анализ, или, как его часто называют, метод наименьших квадратов. Согласно ему оценки Q_} выбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей условных уравнений. Сумма квадратов остаточных погрешностей, определенных в соответствии с системой условных уравнений (8.9), составляет

и достигает минимума при системе значений Q_j, обращающей в нуль все частные производные от S₂ по искомым величинам:

Выражая остаточные погрешности через функции, стоящие в левой части условных уравнений, получаем систему из m уравнений с m неизвестными:

где j = l, 2,..., m, которая может быть решена относительно оценок qj искомых величин.

При решении задачи в общем случае, когда условные уравнения нелинейны, а результаты отдельных измерений коррелированы, иногда возникает ряд непреодолимых трудностей. Задача относительно несложно решается лишь тогда, когда условные уравнения линейны или приведены к линейным известными способами и при отсутствии корреляции между результатами отдельных наблюдений. Ее решение подробно рассмотрено в [3].

Оценки, даваемые методом наименьших квадратов, являются состоятельными и несмещенными, а при нормальном распределении результатов измерений и эффективными. Детальное описание процесса обработки результатов совокупных и совместных измерений приведено в [12, 24].

Контрольные вопросы

1. Что такое вариационный ряд и интервалы группирования? Как определяется число интервалов группирования?

2. Что такое гистограмма, полигон и кумулятивная кривая?

3. Перечислите этапы обработки результатов прямых многократных измерений.

4. Для чего необходимо идентифицировать форму закона распределения результатов измерений? Расскажите, каким образом это делается.

5. Напишите алгоритм обработки результатов однократных измерений с точным оцениванием погрешностей.

6. Как обрабатываются результаты линейных косвенных измерений?

7. В чем состоит метод линеаризации и как он используется для обработки результатов нелинейных косвенных измерений?

8. Напишите алгоритм обработки результатов косвенных измерений при использовании метода приведения.