13.Симм. Неявная схема для одном. Нестационарного уравнения теплопроводности.

Эта схема является по существу усреднением явного и неявного методов.

Пусть имеем смешанную задачу (1) 0≤x≤1 0≤t≤T

u(x,0)=u0(x) начальное условие (2)

u(0,t)=u1(t) граничное условие слева (3)

u(1,t)=u2(t) граничное условие cправа (4).

Как и в предыд. случаях в области, ограниченной отрезками 0≤x≤1 и 0≤t≤T построим пространственно-временную прямоугольную сетку , в узлах которой определим сеточную функцию . Замену граничных и начальных условий проведем, как и для явной схемы, т.к. такая замена не связана ни с какими погрешностями.

Для построения разностной схемы выберем 6-ти точечный шаблон вида:

В этом случае в соответствие с выбранным шаблоном запишем конечно-разностную производную по t : (5)

Для аппроксимации второй производной по пространственной переменной х используем линейную комбинацию разностных выражений на j и j+1слоях.

(6).

Функцию источника заменим сеточной функцией вида . Подставим все необходимые выражения в уравнение (1) и получим симметричное конечно- разностное уравнение (7)

Для завершения построения разностной схемы распространим уравнение (7) на все внутренние узлы сетки и учтем начальные и граничные условия. Получаем

(8)

(9)

(10)

Дока-ся, что эта схема имеет второй порядок аппроксимации по пространству и времени, т.е. . Эта схема является абсолютно устойчивой.

Система уравнений (8)-(10) - это система линейных уравнений, и решать ее, как и в предыдущих случаях, нужно по слоям, начиная с первого слоя. На нулевом слое решение этой системы задается начальным условием . Значения численного решения функции на каждом новом слое находятся из решения системы уравнений вида: (11)

(12).

Здесь .

Метод (11)-(12) опять сводится к решению на каждом шаге по времени 3хдиагональной си-мы уравнений. Матрица коэффициентов этой системы совпадает с матрицей чисто неявной разностной схемы, а вектор правой части определяется чуть более сложно. Следовательно, применение симметричной схемы потребует на каждом шаге по времени большего объема вычислений. Преимущества этого метода состоят в том, что схема безусловно устойчива и имеет второй порядок точности по обеим координатам. τ и h, а поэтому является наиболее используемой для параболических уравнений.

14. Схемы с весами для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности Обобщением рассмотренных ранее разностных схем является однопараметрическое семейство схем с весами. Пусть имеем смешанную задачу (1)

0≤x≤1 0≤t≤T

u(x,0)=u0(x) начальное условие (2)

u(0,t)=u1(t) граничное условие слева (3)

u(1,t)=u2(t) граничное условие cправа (4).

Будем решать эту задачу методом сеток. Для этого в области, ограниченной отрезками 0≤x≤1 и 0≤t≤T построим пространственно-временную прямоугольную сетку , в узлах которой определим сеточную функцию . Замену граничных и начальных условий проведем как и для явной схемы, т.к. такая замена не связана ни с какими погрешностями.

На сетке    разностная схема с весами для аппроксимации исходной краевой задачи теплопроводности будет выглядеть следующим образом.

(5)

(6)

(7)

 - произвольный действительный параметр, называемый весом, значение которого находится в пределах от 0 до 1. Если =0, то получим двухслойную явную схему. При =1 получаем чисто неявную схему, а при =1/2 - получим симметричную схему.

Если , то схема (5)-(7) имеет второй порядок аппроксимации по времени и четвертый по пространству и называется схемой повышенного порядка аппроксимации. Она является абсолютно устойчивой. При этом такой же порядок аппроксимации необходим для источника тепла (8)

При остальных значениях параметра  схема с весами будет иметь первый порядок аппроксимации по  и второй по h. Все схемы с 0.5 будут абсолютно устойчивыми. Если <0.5, то схема будет условно устойчивой, а условие устойчивости выражается как . При 0 схема с весами является неявной схемой и для нахождения решения по известным значениям требуется решать систему уравнений

(9)

(10).

Здесь . Матрица системы является трехдиагональной, поэтому для решения системы используют метод прогонки. Условия устойчивости прогонки при 0 сводятся к неравенству и будут выполняться при .

Все рассмотренные выше схемы для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности содержат значения искомой функции на двух слоях, т.е. , и поэтому называются двухслойными схемами.