11.Решение одном. Нестационарного уравнения теплопроводности. Явная схема.

Пусть имеем смешанную задачу (1) 0≤x≤1 0≤t≤T

u(x,0)=u0(x) начальное условие (2)

u(0,t)=u1(t) граничное условие слева (3)

u(1,t)=u2(t) граничное условие cправа (4).

Для ее решения применим метод сеток. Для этого

1. В области, ограниченной отрезками 0≤x≤1 и 0≤t≤T построим пространственно-временную прямоугольную сетку ;

2. в узлах сетки определим сеточные функции и ;

3. для выбора соотношений, которые аппроксимируют производные, зададим 4-х точечный шаблон вида

4. В соответствие с выбранным шаблоном запишем конечно-разностную производную по времени (5)

5. Вторую производную по параметру х аппроксимируем как (6)

6. функцию источника заменим сеточной функцией вида

7. В результате имеем разностное уравнение (7),

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в узле с первым порядком по  и вторым по h при условии, что разность имеет тот же порядок малости.

Для завершения построения разностной схемы распространим уравнение (7) на все внутренние точки сетки и учтем начальные и граничные условия. Получим:

(8)

(9)

(10)

Эта схема (8)-(10) представляет собой СЛАУ, число которых совпадает с числом неизвестных. Следовательно, система имеет единственное решение, находить которое нужно по слоям. Решение на нулевом слое задается начальным условием (9) вида . Если решение на j-том слое уже найдено, то на j+1 слое решение находится по явной формуле вида (11),а значения доопределяются из граничных условий. Именно из-за существования формулы (11) схема (8)-(10) называется явной разностной схемой.

Для практической реализации предложенного метода необходимо исследовать разностную схему на устойчивость, т.е. исследовать степень зависимости решения от входных данных, которыми являются значения коэффициентов исходного уравнения, функции источников, начальных и граничных условий.

В теории разностных схем доказывается, что схема (8)-(10) имеет сходимость первого порядка по  и второго по h, но использовать эту схему можно при выполнении условия

(12)

т.е. только в этом случае решение будет устойчивым.

Разностные схемы, устойчивые лишь при некотором ограничении на отношение шагов по пространству и времени, называются условно устойчивыми.

Т.о. схема (8)-(10) является условно устойчивой, причем условие устойчивости имеет вид (13)

Условно-устойчивые схемы для уравнений параболического типа используются редко, т.к. они накладывают слишком жесткие ограничения на шаг по времени.

12.Чисто неявная схема для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности.

Пусть имеем смешанную задачу (1) 0≤x≤1 0≤t≤T

u(x,0)=u0(x) начальное условие (2)

u(0,t)=u1(t) граничное условие слева (3)

u(1,t)=u2(t) граничное условие cправа (4).

Будем решать эту задачу методом сеток. Для этого в области, ограниченной отрезками 0≤x≤1 и 0≤t≤T построим пространственно-временную прямоугольную сетку , в узлах которой определим сеточную функцию . Замену граничных и начальных условий проведем как и для явной схемы, т.к. такая замена не связана ни с какими погрешностями.

Качество сеточной схемы в основном определяется выбранным шаблоном, который задает номера узлов для аппроксимации производных

Чисто неявной разностной схемой (иначе – схемой с опережением) для одномерного уравнения теплопроводности (1) называется разностная схема, которая использует 4-х точечный шаблон вида

В этом случае в соответствие с выбранным шаблоном запишем конечно-разностную производную по времени (5)

и вторую производную по параметру х аппроксимируем как

(6).

Функцию источника заменим сеточной функцией вида .

В результате получим чисто неявное конечно- разностное уравнение

(7),

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в узле с первым порядком по  и вторым по h, т.к. мы оговорили условие, что разность имеет тот же порядок малости.

Для завершения построения разностной схемы распространим уравнение (7) на все внутренние узлы сетки и учтем начальные и граничные условия. Получаем (8)

(9)

(10)

Основное отличие построенной неявной конечно-разностной схемы от явной состоит в том, что в правой части системы уравнений (8) имеем значения сеточной функции на j+1 слое, т.е неизвестное значение искомой функции . Система уравнений (8)-(10) - это система линейных уравнений, и решать ее, как и в случае явной схемы, нужно по слоям, начиная с первого слоя. На нулевом слое решение этой системы задается начальным условием . В явной схеме мы могли для нахождения неизвестных значений сеточной функции на j+1 слое построить явные формулы на основе значений этой функции на j-ом слое. Здесь же, в отличие от явной схемы для нахождения значения по уже известному значению требуется решить систему уравнений вида: (11)

(12).

Здесь . Матрица системы (11)-(12) является трехдиагональной, значит эту систему можно решать методом прогонки, т.к. условия устойчивости метода прогонки выполняются.

В теории разностных схем доказывается, что чисто неявная разностная схема (8)-(10) является абсолютно устойчивой, т.е. теоретически устойчива при любом сочетании шагов по пространству и времени. Абсолютная устойчивость неявной схемы является её основным преимуществом, т.к. выбор величины шагов τ и h при построении схемы определяется не соображениями ее устойчивости, а только требуемой точностью расчёта. Однако в случае неявной схемы для перехода на следующий временной слой необходимо решить систему уравнений в отличие от явного метода, где требовалось решить только одно уравнение. Таким образом один шаг по времени в неявной схеме будет требовать больше затрат, по сравнению с явным методом, но при этом за счёт существенного выигрыша в устойчивости мы можем использовать значительно больший шаг по времени. Следовательно, можем сократить общие затраты машинных ресурсов. Тот факт, что неявный метод абсолютно устойчив, отнюдь не означает, что хорошее приближение к искомому решению можно получить при любом выборе шагов τ и h. Эти величины должны быть достаточно малыми, чтобы обеспечить наименьшую величину погрешности дискретизации. В теории разностных схем доказывается, что т.к. метод имеет порядок аппроксимации О(τ + h²), а значит и такой же порядок точности, то для соизмеримости вкладов в полную погрешность дискретизации следует требовать соотношение шагов времени и пространства вида τ ~ ch², где с = const. Это соотношение похоже на условие устойчивости явной схемы. Т.о. хоть условие устойчивости неявной схемы теоретически не накладывает никаких ограничений на соотношение шагов τ и h, но требование к точности метода приводят к возникновению подобных ограничений. Следовательно, чтобы не иметь больших погрешностей численного решения, при выборе шагов τ и h неявной схемы следует придерживаться соотношения вида τ ~ ch².