
- •1. Математическое моделирование(мм) и вычислительный эксперимент(вэ).
- •2. Понятие численного метода. Свойства чм: корректность, устойчивость, сходимость, точность, множественность, экономичность.
- •3. Типичные задачи математической физики.
- •4. Построение разностной схемы и её характеристики.
- •5. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов.
- •6. Постановка задач для уравнений эллиптического типа.
- •7. Разностная задача Дирихле в прямоугольной области.
- •8. Разностная задача Дирихле в области сложной геометрии.
- •9.Способы замены граничных условий сеточными уравнениями.
- •10. Методы решения разностной задачи Дирихле
- •11.Решение одном. Нестационарного уравнения теплопроводности. Явная схема.
- •В соответствие с выбранным шаблоном запишем конечно-разностную производную по времени (5)
- •Вторую производную по параметру х аппроксимируем как (6)
- •В результате имеем разностное уравнение (7),
- •12.Чисто неявная схема для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности.
- •13.Симм. Неявная схема для одном. Нестационарного уравнения теплопроводности.
- •15. Трёхслойные схемы для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности.
- •16.Постановка разностной задачи для одномерного уравнения колебаний струны.
- •17.Явная схема для одномерного уравнения свободных колебаний струны.
- •18. Явная схема для одномерного уравнения вынужденных колебаний струны.
- •19.Простейшая неявная схема для одномерного уравнения свободных колебаний струны.
- •20. Явная схема для двумерного нестационарного уравнения теплопроводности.
- •21. Решение двумерной нестационарной задачи теплопроводности разностными методами. Пз.
- •22. Неявные схемы для двумерного нестационарного уравнения теплопроводности.
- •23. Методы решения сеточных уравнений. Метод переменных направлений.
- •24. Методы решения сеточных уравнений. Схемы расщепления.
- •25. Методы решения сеточных уравнений. Метод дробных шагов.
- •Методика расчетов
- •26. Построение разностных схем для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.
- •27,28,29. Принцип замороженных коэффициентов для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.
- •30. Построение разностных схем для нелинейного нестационарного одномерного уравнения теплопроводности.
- •31. Построение разностных схем методом баланса.
- •32,33. Метод конечных элементов для решения задач математической физики. Пз.
- •34. Решение задачи Дирихле методом конечных элементов в прямоугольнике.
- •35.Формирование глобальных матриц мкэ при использовании треуг-х кэ
- •36. Методы решения систем линейных и нелинейных алг-х ур-й
- •Решение системы нелинейных уравнений методом простой итерации.
- •37. Метод прогонки для решения слау
- •38. Решение задачи Дирихле методом конечных элементов в обл-ти сл-й геом-и. //постановку см 34 вопрос)
9.Способы замены граничных условий сеточными уравнениями.
Будем
рассматривать задачу Дирихле на основе
уравнения Лапласса в области D
c
замкнутым контуром Г
(1)
Требуется
найти функцию u(x,z),
которая в области D
удовлетворяет уравнению (1), а на контуре
Г этой области следующему граничному
условию
(2)
- функция известная, а М – точка, принадлежащая замкнутому контуру Г.
Будем считать, что выбрана прямоугольная сетка, построена сеточная область Dh, заменяющая область D. В этой области Dh выделим множество внутренних узлов и множество граничных узлов. Задача состоит в том, чтобы граничное условие (2) заменить некоторым сеточным условием. Для решения этой задачи большое значение имеет геометрическая картина. Если область D является прямоугольником, то сетка строится т.о., чтобы граничные узлы лежали непосредственно на границе Г. Если же область имеет криволинейную границу Г, то к внутренним узлам отнесем всякий, для которого 4 соседних узла лежат внутри области Dh, другие узлы будем считать граничными. На рисунке граничные узлы обозначены *, а внутренние – о. Следует различать граничные точки и граничные узлы.
Н
а
рисунке обозначены М- граничная точка,
(точка, лежащая на границе Г), В –
граничный узел, А – внутренний узел.
Необходимо определить, каким следует
взять сеточное значение функции в точке
В.
Простейшим решением этой задачи является след. взять в качестве значения u(В) значение функции в точке контура, ближайшей к точке В, т.е. полагают u(В)= (М). Такой способ замены граничных условий получил название простого сноса граничных условий в ближайшую точку сетки. Погрешность этого способа имеет первый порядок О(h).
Чтобы
уменьшить погрешность аппроксимации
граничных условий, целесообразно
использовать метод, который называется
метод
линейного интерполирования
и дает погрешность второго порядка
О(h2).
В этом случае для вычисления значения
функции в граничном узле u(В)
нужно использовать значение фу-ии в
граничной точке М(x,z)
, а также значение этой функции в некоторой
внутренней точке А(x+h,z),
ближайшей к граничному узлу В. Здесь
- расстояние между граничной точкой М
и ближайшим граничным узлом В (эта
величина берется со знаком “+”, если
узел В расположен внутри области и со
знаком “-”, если узел В лежит вне области
D;
h
– шаг сетки. Искомая формула получается
из разложения u(В)
и u(А)
в окрестности точки М
в ряд Тейлора. Окончательно приближенное
значение сеточной функции в узле В можно
вычислить по формуле
(3)
Выражение (3) называют формулой Коллатца. В правой части этой формулы есть неизвестное слагаемое u(A), которое не позволяет сразу вычислить значение функции в граничном узле u(В), однако погрешность такой замены выше по сравнению со случаем непосредственного сноса граничных условий и имеет второй порядок О(h2).
По ходу решения задачи граничные условия, определенные формулой (3), можно уточнить, используя процесс Либмана.
10. Методы решения разностной задачи Дирихле
Пусть
для задачи Дирихле (1),(2)
(1)
(2)
методом сеток получена конечно-разностная схема
(3)
i=1,2,…,N1-1 j=1,2,…,N2-1
yi,0=(xi,0) yi,N2= (xi,L2) i=0,..,N1
y0,j=( 0, zj) yN1,j= (L1,zj) j=0,..,N2 (4)
где L1 и L2 – максимальные значения области D по направлениям X и Z. Эта разностная схема (3)-(4) представляет СЛАУ относительно неизвестных значений сеточной функции yi,j, состоящую из (N1-1)·(N2-1) уравнений с таким же количеством неизвестных. Решение систем такого высокого порядка методом Гаусса (даже если N1,N2 не превышает 100, то число уравнений в системе будет порядка 103-104) требует почти (N1-1)3(N2-1)3, т.е. 109-1012 арифметических действий. Однако матрица системы (3)-(4) является слабо заполненной и имеет примерно 5N1*N2 ненулевых элементов. Поэтому для решения системы разностных уравнений (3)-(4) можно построить методы, с гораздо меньшим количеством действий, вплоть до (N1-1)(N2-1). В основе построения таких методов лежит метод разделения переменных, который комбинируют либо с методом редукции, либо с алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Такие методы являются наиболее экономичными для области прямоугольной формы. Однако, если переменные не разделяются, или область не является прямоугольником , а также если в основе задачи лежит уравнение с переменными коэффициентами, то для решения системы (3)-(4) используют итерационные методы. В этом случае каждое из уравнений системы необходимо записать в виде, разрешенном относительно сеточной функции в центральном узле
(5)
Или
(6)
Где
.
Если сетка является квадратной, то получаем уже известное выражение
Всякий
итерационный процесс предусматривает
выбор начального приближения и контроль
максимального отклонения значений
сеточной функции для двух последовательных
итераций в соответствующих узлах
.,
k-
номер итерации. Если величина этого
отклонения M≤
достигает заданной точности, итерационный
процесс прекращается, и значение функции
на последней итерации принимается за
искомое решение.
Одним из способов решения задачи Дирихле является сведение ее к решению некоторой фиктивной нестационарной задачи, т.к. при достаточно больших значениях параметра времени t решения нестационарной и аналогичной стационарной задачи достаточно близки. Такой способ решения называется методом установления.
Решение
u(x,z)
задачи (1)-(2) не зависит от времени,
поэтому можно добавить в уравнение (1)
слагаемое, которое равно нулю при точном
решении. В этом случае уравнение (1) можно
записать следующим образом
(8)
Уравнение
(8) представляет собой двумерное
нестационарное уравнение теплопроводности,
для которого известно множество способов
построения разностных схем. Необходимо
только для разрешимости задачи в такой
постановке к краевым условиям (2) добавить
начальное условие. Это условие можно
принимать практически в произвольном
виде, согласовав его с граничными
условиями. Пусть начальное условие
задается следующим образом
(9)
Граничное условие (2) задачи Дирихле при этом остается стационарным, т.е. не зависящим от времени. (10)
Процесс числен. решения задачи Дирихле в постановке (8)-(10) состоит в переходе при t от произвольного значения функции u, которое мы берем из условия (9) к искомому стационарному решению. Счет ведется до выхода на стационар. режим, т.е. ограничиваются решением при некотором достаточно большом значении t, если значения искомой функции u на 2х соседних итерациях совпадают с заданной степенью точности.
Метод установления является итерационным процессом решения задачи Дирихле в постановке (8)-(10). Причем на каждой итерации значение искомой функции u(x,z) получаются путем численного решения некоторой вспомогательной нестационарной задачи. В теории разностных схем доказывается, что такой итерационный процесс является сходящимся к решению исходной стационарной задачи, если решение стационарной задачи существует.
МathСad имеет две функции для решения задачи Дирихле в области с квадратной матрицей. Если на всех четырех сторонах квадрата заданы граничные ненулевые условия, то используется функция relax. Эта функция возвращает квадратную матрицу, в которой
индекс элемента матрицы совпадает с нумерацией узлов квадратной сетки
значение элемента матрицы является аппроксимацией искомого реш. в этой точке.
Функция relax имеет следующие аргументы
Relax(a,b,c,d,e,f,u,w)
a,b,c,d,e, - квадратные матрицы, содержащие коэффициенты исходного уравнения Пуассона. f- квадратная матрица значений правой части исходного уравнения, u – матрица начальных приближений для граничных и внутренних узлов области решения, w- параметр релаксации, имеет положительное значение не превышающее единицы.
Уравнение Пуассона вида
на квадратной сетке представляем следующим образом
Параметры функции в этом случае имеют значение
Если на всех сторонах квадрата мы имеем нулевые граничные условия, то можно использовать функцию multigrid.