7. Разностная задача Дирихле в прямоугольной области.

Многие стационарные задачи физики сводятся к уравнению: – уравнение Пуассона. Если F(x, z) = 0, то получим уравнение Лапласа:

Решение уравнения ищется в некоторой области, которая имеет замкнутую границу Г(x, z), поэтому для полной формулировки краевой задачи необходимо задавать условия на границе Г:

Задача (1, 3) или (2, 3) называется задачей Дирихле. Так как исходное решение граничной задачи не зависит от  времени, то можно в это уравнение добавить член . Тогда исходное уравнение примет вид: – двумерное нестационарное уравнение теплопроводности. Для решения такой задачи необходимо задать только начальное условие. Решением же исходной задачи будет считаться решение задачи (4) при . На практике это означает, что счет ведется до выхода на стационар, т.е. при больших t значения на 2-х последних слоях совпадают с заданной точностью.

Рассмотрим уравнение Пуассона следующего вида:

Будем искать непрерывное решение U(x,z) в области: .

Считаем, что на границе этой области заданы условия (3). Введём прямоугольную сетку с шагом h₁ по x и h₂ по z. Будем считать, что по направлению x выбрано N1, а по z N2 узлов.

Минимальный шаблон – пятиточечный. Задаче Дирихле в этом случае сопоставляется разностная схема: , где – сеточная функция.

Разностная схема (3’) имеет единственное решение. Сама схема является устойчивой и имеет второй порядок аппроксимации по шагам h₁,  h₂. Она представляет собой СЛАУ, количество которых (N1-1)·(N2-1). Она может быть решена методом Гаусса (когда системы небольшие), используют итерационные методы. Тогда каждое из уравнений системы запишется в виде, разрешенном относительно сеточной функции:

Так как процесс итерационный, то надо задавать начальное приближение во всех узлах и осуществлять контроль 2-х соседних приближений. Если h₁ = h_2, то сетка называется квадратной и разностная схема (3') может быть переписана в следующем виде:

8. Разностная задача Дирихле в области сложной геометрии.

Рассмотрим задачу Дирихле, в основе которой лежит двумерное уравнение Пуассона: . Решение ищется в области D(x, z) ={0 ≤ x ≤ L1 ,0 ≤ z ≤ L2 }, с контуром Г(x,z). Считаем, что на границе этой области заданы условия:

Введем прямоугольную сетку с шагом h₁ по x и h₂ по z. Будем считать, что по направлению x выбрано N1, а по z N2 узлов. В узлах сетки введём сеточную функцию y_ij = U(x_i , z_j).

Минимальный шаблон – пятиточечный.

Задаче Дирихле во внутренних точках области в этом случае сопоставляется разностная схема:

Для краевых условий введём следующие значения:

y_i,0 = φ(x_i, 0); y_i,N2 = φ(x_i, L2), i = 0,…,N1;

y_0,j = φ(0, z_j); y_N1,j = φ(L1, z_j), j = 0,…,N2; (3a)

Соотношения (3'), (3а') представляют собой разностную схему задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Для внутренних точек области каждое из уравнений этой системы можно записать в виде: Если h₁= h₂= h, то сетка называется квадратной (обозначим её D_h) и разностная схема (3) может быть переписана в следующем виде:

Если h1=h2=h, то сетка называется квадратной (обозначим её D_h) и разностная схема (3') может быть переписана в следующем виде: .

В построенной области D_h можно выделить множество внутренних узлов и множество граничных узлов. Если область D(x, z) является прямоугольником, то сетка строится так, чтобы граничные узлы лежали непосредственно на границе Г. Если же эта область D(x, y) имеет криволинейную границу Г, то к внутренним узлам будем относить такие, для которых четыре соседних узла принадлежат области Все остальные узлы будем считать граничными.

В такой интерпретации необходимо определить сеточное значение искомой функции в граничном узле В, т.е. у(В). Простейшим решением такой задачи является вариант, когда в качестве значения искомой функции в граничном узле берётся значение функции φ в точке контура, ближайшей к этому узлу у(В)~U(B)=φ(M).Такой способ замены граничных условий сеточными называется простым сносом граничных условий в ближайшую точку сетки. Погрешность такой аппроксимации имеет первый порядок. Чтобы уменьшить погрешность при аппроксимации граничных условий часто используют метод линейного интерполирования. В этом случае для вычисления значения функции в граничном узле, например В, используют значение функции в граничной точке М, а также в некотором внутреннем узле, например А, который является ближайшим по отношению к граничному узлу В. Искомая формула может быть получена из разложения функции U в ряд Тэйлора в окрестности точки М и имеет вид:

Здесь h - шаг сетки, φ(М) - граничное условие задачи Дирихле, δ - расстояние между граничной точкой М и граничным узлом В (эта величина берётся со знаком плюс, если узел В расположен внутри области, и со знаком минус, если узел В лежит вне области D). Формула (6) называется формулой Коллатца. Как правило по ходу решения задачи граничные условия, определяемые этой формулой (6), уточняются с использованием процесса Либмана. Правая часть формулы (6) содержит значение функции у(А) неизвестное при постановке задачи. Однако применение такой формулы, несмотря на указанную сложность, позволяет уменьшить погрешность на один порядок по сравнению со случаем простого сноса граничных условий.