5. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов.

Пусть имеем простейшую дифференциальную задачу: Lu=f (1), где L – некоторый дифференциальный оператор, u=u(x), где x[a,b]. Введем сетку . Точки , i = 0…n называются узлами сетки . Причём точки и - это граничные узлы сетки , все остальные узлы называются внутренними. На сетке зададим функцию , которая будет аппроксимировать искомую функцию в узлах выбранной сетки, т.е. . Функция, заданная в узлах сетки, называется сеточной функцией. В дифференциальное уравнение (1) кроме значений функции могут входить её производные разных порядков. Поэтому для построения разностной схемы в области изменения независимой переменной на введенной сетке нужно задать шаблон, т.е. множество точек сетки, которые участвуют в аппроксимации дифференциального выражения. Для функции u(x), определенной и непрерывной на отрезке [a,b] выбираем на равномерной сетке шаблон из двух точек. В этом случае первую производную функции u в i-том узле можно аппроксимировать следующим образом: (2) (3) (4)

Эти формулы называются соответственно 2 – правая разностная аппроксимация, 3 – левая разностная аппроксимация, 4 – центральная разностная аппроксимация. Если точка фиксирована, а шаг сетки h-->0, то любое из этих разностных соотношений стремится к значению производной функции u в i-ой точке. Погрешность, которая возникает при использовании этих формул для аппроксимации производной, называется погрешностью аппроксимации. Доказывается, что эта погрешность является величиной, зависящей от шага сетки и записывается О(h) и левая и правая разностные формулы аппроксимируют производную с первым порядком, а центральная – со вторым. Следовательно, формула под номером 4 является более точной и можно записать: (5)

Вторую производную можно заменить в i-том узле сетки формулой второй разностной производной: (6), которая имеет второй порядок аппроксимации.

Порядок аппроксимации приведенных формул можно определить, если воспользоваться разложением функции u в i-той точке в ряд Тейлора.

Эти формулы приведены для равномерной сетки. В общем случае порядок аппроксимирующего выражения будет зависеть от распределения узлов сетки и гладкости функции. Для преобразования различных дифференциальных соотношений в разностные могут потребоваться формулы разностного дифференцирования произведения или суммы, а также разностные формулы Грина.

6. Постановка задач для уравнений эллиптического типа.

Рассмотрим наиболее типичное уравнение эллиптического типа – уравнение Лапласа: (1)

Или более общее уравнение Пуассона: (2)

Где D –некоторая односвязная область на плоскости 0xy с простой (без кратных точек) границей Г. В простейшем случае эта область имеет прямоугольную форму.

Уравнение Пуассона описывает стационарное течение идеальной жидкости, в которой отсутствует вязкость и теплопроводность, стационарное распределение тепла в некотором объекте и т.д. Это же уравнение описывает стационарное распределение напряженности электрического или магнитного поля в электродинамике. Уравнение Лапласа описывает эти явления для случая, когда внутри области D нет источников и стоков, а уравнение Пуассона – с распределенными по области D источниками, задаваемыми функцией правой части.

Поскольку в уравнении (1),(2) отсутствуют производные по времени, задача является стационарной, и следовательно начальные условия задавать не нужно. На границе Г области D могут задаваться краевые (граничные) условия трех видов, что порождает три краевые задачи.

Первая краевая задача – задача Дирихле: содержит функциональное краевое условие на границе Г области D, где  (x,y) – заданная функция.

(3)

(4) краевое условие.

Вторая краевая задача – задача Неймана: содержит дифференциальное краевое условие, в котором задается производная в направлении внешней нормали n на границе Г области D

(5)

(6) краевое условие.

Третья краевая задача содержит функционально-дифференциальное краевое условие, в котором задается комбинация производной в направлении внешней нормали n и функции u (x,y) на границе Г области D

(7)

(8) краевое условие.

В качестве примера задачи Дирихле можно рассматривать задачу о нахождении стационарного распределения температуры внутри области, если на её границе задана температура. Если будет задан поток тепла на границе области, то следует рассматривать задачу Неймана.