4. Построение разностной схемы и её характеристики.

В общем (операторном) виде дифференциальную задачу для некоторой области D с границей Г можно записать: Lu=f (1), где L – некоторый дифференциальный оператор. Для решения задачи (1) нужно построить дискретную модель, которую иначе называют разностной схемой.

Под разностной схемой понимают совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнение и дополнительные условия исходной дифференциальной задачи. Существуют различные способы построения разностных схем: 1)Метод сеток (конечных разностей); 2)Интегро-интерполяционный метод (метод баланса); 3)Вариационно-разностные методы (метод Ритца, Бубнова-Галеркина); 4)Метод конечных элементов; 5)Метод граничных элементов; 6)Метод сумматорного тождества и т.д.

Простейшим среди перечисленных методов является метод сеток. Для применения этого метода необходимо: 1)Выбрать сетку, т.е. заменить область непрерывного изменения аргумента дискретным множеством точек с шагом h. Эти точки называются узлами сетки; 2)Задать шаблон, т.е. минимальное множество узлов сетки, участвующих в аппроксимации дифференциального выражения; 3)На этом дискретном множестве точек выбрать способ аппроксимации искомой функции и её производных; 4)На выбранной сетке построить разностную схему, т.е. заменить дифференциальные уравнения разностными (в том числе и краевые условия) используя на основе выбранного шаблона разностные отношения; 5)Исследовать качество построенной разностной схемы, т.е. найти её порядок аппроксимации, сходимости и устойчивости; 6)Решить систему разностных уравнений. 7)Оценить погрешность разностной схемы, как разность между решением этой схемы и точным решением исходной задачи.

Если в основе краевой задачи лежит одномерное дифференциальное уравнение относительно действительной переменной x из отрезка [a, b], то сеткой на отрезке [a, b] называется любое конечное множество точек этого отрезка. Для сетки принято обозначение . Точки , i = 0…n называются узлами сетки . Причём точки и – это граничные узлы сетки , все остальные узлы называются внутренними. Иногда принято разбивать сетку на совокупность двух сеток , где – совокупность внутренних узлов сетки, – граничных узлов. Величина i=0,1,…,n-1 называется шагом сетки . Количество и расположение узлов сетки выбирается в зависимости от требуемой точности решения задачи, в частном случае сетка выбирается равномерной. Равномерной сеткой на отрезке [a,b] называется множество точек вида: и шаг сетки в этом случае выбирается как h=(b-a)/n. Т.о. в равномерной сетке узлы располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга. Если отрезок [a, b] разбивается на n произвольных частей, то полученная сетка будет называться неравномерной. В этом случае шаг сетки не будет постоянной величиной. Функция, определённая в узлах сетки, называется сеточной

Для двумерного случая простейшей областью исследования является прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат a≤x≤b, c≤y≤d . Стороны этого прямоугольника делятся на элементарные отрезки точками: . В результате такого деления получилась сетка с прямоугольной ячейкой и эта сетка будет равномерной. Если , то сетка будет квадратной. Toчки называются узлами сетки.  Здесь - внутренние узлы, - граничные. Прямоугольные сетки наиболее удобны, однако бывают и треугольные, и шестиугольные. Функция дискретного аргумента, определяемая в узлах сетки, называется сеточной функцией. , i,j=0,1,…,n. Начальные и граничные условия при постановке задачи формулируются на границе расчётной области, поэтому их можно считать заданными в граничных узлах сетки. Для области сложной геометрии, когда граничные точки не являются узлами сетки, можно вводить дополнительные узлы (сгущение сетки) или границу приближенно заменять ломаной, проходящей через близкие к границе узлы. На эту ломаную переносят граничные условия. Если граничные узлы неточно совпадают с линией границы, то иногда используют переход к другой системе координат. Такой переход позволяет свести описание криволинейной области к простейшему виду. Начальные и граничные условия также необходимо преобразовать к новым переменным.

Мы будем рассматривать модели, записанные в декартовых координатах и строить прямоугольные сетки, хотя на практике задачи решают и в криволинейных координатах. Для более точного расчета в некоторых частях исследуемой области применяют сгущение сетки. При этом области сгущения узлов либо известны заранее, либо определяются в процессе решения.

Если уравнение является нестационарным и одна из координат представляет собой время t, то построенная сетка будет называться пространственно-временной. А множество всех точек, имеющих одну и ту же временную координату, называют слоем.

Аналогично можно ввести сетки для многомерных областей, т.е. областей, имеющих более двух измерений.