3. Типичные задачи математической физики.

Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных (интегро-дифференциальных) уравнений. Мы не будем рассматривать подробно ни сами физические задачи, приводящие к тем или иным уравнениям, ни теорию краевых задач математической физики. Отметим только, что среди задач математической физики выделяется класс корректно поставленных задач, т.е. задач, для которых решение существует, является единственным и устойчивым (непрерывно зависит от входных данных). Доказательство корректности является первой характеристикой математической модели: 1) модель непротиворечива – решение существует; 2) модель однозначно описывает физический процесс – решение единственно; 3) модель малочувствительна к погрешностям измерений физических величин – решение непрерывно зависит от исходных данных задачи.

Мы будем рассматривать в основном корректно поставленные краевые задачи на основе уравнений второго порядка. В общем случае нелинейное уравнение второго порядка в частных производных может быть записано в виде

(1)

Во многих практических задачах в качестве независимых переменных используются время t и пространственные координаты x,y,z. Если функция F линейна относительно искомой функции и ее производных, то уравнение (1) называется линейным. Если функция F линейна по высшим производным, т.е. коэффициенты при производных второго порядка зависят только от функции u и ее производных первого порядка, то дифференциальное уравнение (1) называется квазилинейным.

Для случая 2-х независимых переменных x и t дифференциальное уравнение классической математической физики записывается:

(2)

Функция u=u(x,t) является искомой. Коэффициенты уравнения (2) a, b, c, d, e, f и свободный член g – в общем случае могут зависеть не только от x, t, так и от функции u. Предполагается, что коэффициенты и правая часть являются заданными дважды непрерывно дифференцируемыми функциями, причем выполняется неравенство │a(x,t)│+│b(x,t)│+│c(x,t)│≠0

Уравнение (2) называется неоднородным уравнением с переменными коэффициентами. Если коэффициенты a, b, c, d, e, f не зависят от x и t, то мы имеем дело с уравнением с постоянными коэффициентами. Если правая часть g(x,t) тождественно равна нулю для всех значений независимых переменных x и t, то уравнение (2) называется однородным.

В зависимости от соотношения между коэффициентами можем иметь уравнения следующих типов: 1)если D=b²-ac=0, имеем уравнение параболического типа (описывает процессы теплопроводности и диффузии); 2)если D=b²-ac>0, имеем уравнение гиперболического типа (описывает процессы колебаний и волнового движения ); 3)если D=b²-ac<0, имеем уравнение эллиптического типа (описывает соответствующие стационарные процессы); 4)если a=b=c=f=0, d№0, c№0, имеем уравнение переноса.

Если искомая функция зависит от времени, то уравнение называется нестационарным, а если искомая функция не зависит от времени, то уравнение называется стационарным. Тип уравнения определяет формулировку задачи и численные методы его решения.

Чтобы полностью смоделировать тот или иной физический процесс необходимо кроме самого уравнения задать начальное состояние этого процесса и режим на границе той области, в которой моделируется процесс или явление. Т.е. задачи математической физики формулируются в виде основного дифференциального уравнения и дополнительных граничных и/или начальных условий, которые обеспечивают существование и единственность решения задачи. Типичными примерами таких задач являются задача Дирихле, уравнение теплопроводности и колебаний струны.

В математической физике различают три основных типа задач: 1)Задача Коши (с начальными условиями); 2)Краевые (граничные) задачи с краевыми(граничными) условиями; 3)смешанные задачи (начально-краевые) с начальными и краевыми условиями.

Количество и характер краевых условий определяется типом дифференциального уравнения, его порядком и характером изучаемых физических процессов. Если количество граничных условий превышает нужное число, то задача становится переопределенной и, как правило, не имеет решения. Если их меньше, чем требуется для разрешимости задачи, то ее решение не является единственным. Для анализа разрешимости задач, где это возможно, доказываются теоремы о существовании и единственности решения.

Краевые условия называются условиями первого рода, если в граничных точках значения искомой функции задаются как постоянные величины; второго рода – в граничных точках задана функциональная зависимость искомого параметра; третьего рода – на границе задаются комбинация значений искомой функции и значения ее производных.