38. Решение задачи Дирихле методом конечных элементов в обл-ти сл-й геом-и. //постановку см 34 вопрос)

Т.к. область D является эллипсом, то граничные условия будут симметричны по контуру. Будем рассматривать для поиска решения только I четверть.

Узлы обозначены красным цветом, а элементы черными треугольниками с номерами

Определим матрицу UZLI, которая содержит координаты x и y узлов.

Зададим также матрицу ELEM, в которой каждая строка содержит элементы и номера узлов их определяющие. Обход узлов против часовой стрелки.

У нас будет 20 элементов и 17 узлов. Элементы образуют треугольники, получаемые делением каждого квадрата 1x1 диагональю пополам.

Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используют соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется аппроксимацией на сетке или разностной аппроксимацией.

Т.о. решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. При этом возникают вопросы обоснованности замены ДУ сеточными, уровня качества такой аппроксимации, точности получаемых численных решений, устойчивости применяемого метода и т.д., т.е. вопросы теоретического обоснования численных методов.

Функция , определяемая соотношением (4), называется невязкой или погрешностью аппроксимации разностного уравнения (1) на решении исходного дифференциального уравнения. Невязка представляет собой результат подстановки точного решения u=u(x) в левую часть разностного уравнения Эйлера (1). Если бы решение, полученное численным методом, совпадало с точным, т.е. выполнялось бы точное равенство , то невязка равнялась бы нулю.

Говорят, что разностный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение с p порядком аппроксимации, если невязка при неограниченном уменьшении шага дискретизации, т.е. и при этом невязка имеет p порядок точности, т.е. выполняется равенство .

В теории разностных схем доказывается, что порядок точности разностного метода совпадает с его порядком аппроксимации.

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называетсяаппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.