34. Решение задачи Дирихле методом конечных элементов в прямоугольнике.

Рассмотрим первую краевую задачу - задачу Дирихле для уравнения Пуассона в области D c границей Г

(1)

Здесь областью определения: является прямоугольник с вершинами

А(0,0); В(0,1); С(1,1); D(1,0) (2)

На границе области Г заданы условия

u│_Г = w(x,y); (3)

Доказывается, что решение этой задачи (1)-(3) доставляет минимум некоторому функционалу. Это условие минимума записывается следующим образом

(4)

Где  - некоторая произвольная функция, имеющая производную первого порядка и удовлетворяющая краевому условию.

Рассмотрим решение задачи (1)-(3) методом конечных элементов на основе метода Галеркина. Разобьем область D на n треугольников (желательно равносторонних), вершины которых назовем узлами и присвоим каждому узлу треугольника свой номер 1,2,3. Нумерацию проводим против часовой стрелки.

На каждом элементе с номером p решение аппроксимируем в виде

(5)

Здесь - узловые значения искомой функции не элементе с номером p, - некоторые, называемые базисными, функции. Разбиение области и свойства базисных функций элемента позволяют провести суммирование по всем элементам области и приближенное решение исходной задачи можно записать в виде

(6)

Воспользуемся определяющим соотношением метода Галеркина. Для метода Галеркина характерно равенство нулю скалярного произведения невязки и системы базисных функций. Скалярное произведение в методе Галеркина записываем в виде интеграла, взятого от невязки с некоторыми весовыми функциями, которые совпадают с системой базисных функций. Запишем это соотношение для треугольного элемента

(7)

Здесь  - невязка уравнения Пуассона на треугольном элементе. Доказывается, что равенство (7) представляет собой выражение, аналогичное (4), но записанное для треугольного элемента. Следовательно, можно записать

(8)

Подставим в (8) аппроксимацию искомой функции (5) и проведем объединение уравнений (8) по всем конечным элементам путем суммирования. Получим систему алгебраических уравнений относительно узловых значений искомой функции. В матричном виде эта система может быть записана

[К][Y]+[F]=0 (9)

Решение этой системы (9), т.е. вектор узловых значений [Y] будет приближенным решением исходной задачи (1)-(3).

Компоненты глобальной матрицы К системы (9) и вектора F определяются суммированием вкладов отдельных элементов, т.е. соответствующих значений по всем узлам области.

l,m=i,j,k (10)

При этом матрица является симметричной матрицей.

(11)

Базисную функцию на каждом треугольном элементе с номером p будем строить таким образом, чтобы она принимала значение 1 в одном из узлов, а в двух других – равнялась нулю. Запишем

l=i,j,k (12)

Коэффициенты этого разложения находим из условий

(13)

Т.е. для каждого треугольного элемента с номером p имеем три системы уравнений:

(14)

(15)

Координаты узлов (x,y) задаются при разбиении области D на треугольные элементы, i,j,k - номера узлов треугольного элемента, 2^p-площадь треугольного элемента.

(16)

Производные от базисных функций вычисляются непосредственно:

(17)

Учитывая формулы (15)-(17) и то, что , можно провести непосредственное интегрирование формул (10), (11). Получаем

(18)

(19)

Таким образом, определена структура матриц элементов и правых частей для решения задачи Дирихле. Необходимо правильно провести процедуру ансамблирования, т.е построения глобальной матрицы К. При формировании вектора F нужно учесть граничные условия.