32,33. Метод конечных элементов для решения задач математической физики. Пз.

Первые разработки метода конечных элементов (МКЭ) были выполнены в 50-х годах для решения задач сопротивления материалов. В 60-е годы математики получили строгие формулировки для этого метода, после чего он становится общим средством изучения задач в частных производных, понемногу вытесняя метод конечных разностей, который рассматривался в период своего апогея как универсальное средство решения задач такого типа. После подробного математического его исследования оказалось, что при негладких входных данных задачи МКЭ часто сходится быстрее, чем метод конечных разностей, а иногда вообще обладает оптимальной скоростью сходимости. Начиная с 1970 г. этот метод становится все более популярным среди инженеров всех специальностей благодаря работам Зинкевича, Галлагера, Одена, Лиона, Равьяра, Сильвестера.

Метод конечных элементов основан на идее аппроксимации непрерывной функции (в физической интерпретации - температуры, давления, перемещения и т.д.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. Исследуемая геометрическая область разбивается на элементы таким образом, чтобы на каждом из них неизвестную функцию можно было бы аппроксимировать пробной (базисной) функцией (как правило, полиномом). Причем эти пробные функции должны удовлетворять условиям сопряженности на границах конечных элементов и условиям, совпадающим с граничными условиями, налагаемыми самой задачей.

Пусть уравнение исходной задачи записано следующим образом

(1)

Где - некоторый дифференциальный оператор, u(x,y) – искомая функция двух переменных, определенная в области D, t – независимая переменная, например время.

МКЭ для решения задачи (1) может быть охарактеризован следующими основными этапами его реализации:

Область определения D делится на непересекающиеся подобласти, т.е. конечные элементы,

и производится нумерация узлов и элементов. При аппроксимации сложных геометрических областей наиболее удобными являются треугольные конечные элементы. Разбиение двумерной области на конечные элементы проводится таким образом, чтобы границы элементов совпадали с изменениями геометрии области, ее физических свойств, граничных условий. В подобластях, где ожидается повышение градиентов искомой функции, можно проводить измельчение элементов. Треугольный элемент удобен также тем, что является простейшим в смысле аппроксимирующей формулировки исходной функции. Нумерация элементов практически не влияет на эффективность метода. Однако, при локальной нумерации узлов в элементе необходимо соблюдать для всех элементов единое направление обхода узлов (например против часовой стрелки).

Нумерацию треугольников на рисунке начинаем с нижнего левого угла. Тогда в треугольнике с номером один первым будет узел под номером 1, вторым – под номером 2, третьим – под номером 4, т.е 11, 22, 34 . Для второго треугольника 12, 23, 34

На каждом конечном элементе (а следовательно и по всей области D) искомая функция u(x,y) аппроксимируется функцией специального вида. Параметры этих аппроксимаций становятся впоследствии неизвестными параметрами задачи. Для треугольного конечного элемента аппроксимирующая функция имеет вид

(2)

Здесь – значение искомой функции в m-том узле, М – количество узлов, базисная функция. Для типичного треугольного элемента, узлы которого i,j,k совпадают с вершинами треугольника, эта функция записывается следующим образом

s=i,j,k (3)

l – номер элемента. Параметры находятся из условий, что базисная функция принимает значение 1 в узле с номером i т.е., если s=i, и равна 0 в узлах j,k. .

Линейность базисных функций на каждом элементе обеспечивает выполнение условий непрерывности (сопряженности) глобальной базисной функции N(x,y) при переходе через границы элементов. Глобальная базисная функция N(x,y) находится суммированием базисных функций по всем элементам. Далее проводится процедура вычисления производных от базисных функций конечных элементов.

Подстановкой аппроксимаций в исходное уравнение (1) получаем систему уравнений относительно параметров аппроксимирующих функций. Решение системы дает значение этих параметров, и, следовательно, находим приближенное решение исходной задачи.

Способы получения разрешающих уравнений МКЭ являются важным этапом в алгоритме метода, т.к. конечный результат должен достаточно точно аппроксимировать решение исходной задачи (1). В этом смысле МКЭ может быть реализован различными методами.

1 Вариационная формулировка, т.е. решение исходной краевой задачи (1) совпадает с функцией, которая минимизирует функционал

(4)

2 Метод невязок. Невязкой уравнения (1) называется разность

(5)

Здесь u – точное решение, - решение, получаемое численным методом. Учитывая уравнение (1), получаем .В методе невязок требуется, чтобы невязка (x,y,t) удовлетворяла какому-либо условию, вынуждающему ее принимать малое значение. Таким условием обычно является требование ортогональности невязки некоторому набору весовых функций. На практике могут быть использованы различные виды систем весовых функций, приводящие в конечном итоге к различным методам аппроксимации посредством метода взвешенных невязок. Наиболее популярным является метод Галеркина, когда в качестве весовых функций выбирают базисные функции. Определяющее соотношение в этом случае будет выглядеть так

(6)

Здесь N^T – вектор-столбец базисных функций.

Подставляя в соотношение (6) выражение (2), аппроксимирующее искомую функцию u(x,y) получим

(7)

систему уравнений метода взвешенных невязок. Входящие в нее определенные интегралы могут быть получены простым суммированием их вклада по каждому конечному элементу, т.е. имеем

(8)

Здесь L – общее количество подобластей (конечных элементов). Соотношение (7) представляет собой либо систему алгебраических уравнений, либо - систему дифференциальных уравнений первого порядка относительно искомой функции u. Конкретный вид системы уравнений (7) зависит от вида дифференциального оператора L_D исходной задачи (1). В конечном итоге система дифференциальных уравнений сведется к системе алгебраических уравнений ( например, применением метода конечных разностей). Для решения системы алгебраических уравнений применимы прямые и итерационные способы.