31. Построение разностных схем методом баланса.

Задачи математической физики формулируются в виде основного дифференциального уравнения и дополнительных (начальных, граничных) условий, обеспечивающих существование и единственность решения. Типичными примерами являются: задача Дирихле для уравнения Лапласа, задача Коши и смешанные задачи для уравнений параболического и гиперболического типов. Под разностной схемой понимают совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное уравнение и дополнительные условия исходной дифференциальной задачи. Существуют различные способы построения разностных схем. Простейшим является метод сеток. Однако в настоящее время существует и другие методы получения разностных схем. К ним относят

1. интегро-интерполяцционный метод (метод баланса);

2. вариационно-разностные методы (методы Бубнова-Галеркина, метод Ритца);

3. метод граничных элементов;

4. метод конечных элементов;

5. метод аппроксимации вариационного функционала идр…

Различные физические процессы теплопроводности, диффузии, колебания и т.д. характеризуются некоторыми интегральными законами сохранения соответственно тепла, массы, количества движения, энергии и т.д. Такое интегральное соотношение называют уравнением баланса. При выводе дифференциальных уравнений математической физики обычно исходят из некоторого уравнения баланса, выражающего закон сохранения для малого объема. Дифференциальное уравнение получается из этого уравнения баланса при «стягивании» объема к нулю в предположении существования непрерывных производных, входящих в исходное уравнение.

Метод конечных разностей физически означает переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели. При этом требуется, чтобы основные свойства физического процесса сохранялись, прежде всего законы сохранения. Разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения, называются консервативными или дивергентными.

Рассмотрим интегро-интерполяционный метод (или метод баланса) построения разностной схемы для некоторой краевой задачи. Суть его состоит в следующем. Разобьем область существования непрерывного решения исходной задачи на некоторые элементарные подобласти, которые в совокупности образуют дискретную сетку. Будем исходить из уравнения баланса, записанного для элементов сеточной области. Входящие в это уравнение баланса интегралы и производные необходимо заменить приближенными разностными выражениями. В результате получим однородную разностную схему. Однородной называют такую схему, для которой аппроксимирующие выражения будут одинаковыми в любой внутренней точке сеточной области.

Для простоты будем считать, что в основе лежит обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, которое описывает стационарное распределение температуры в стержне единичной длины:

(1)

u(0)=u1 (2)

u(1)=u2

где k(x), q(x), f(x) —заданные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям k(x)≥k>0, q(x)≥0, и u1, u2 — заданные числа. При сформулированных предположениях существует и единственно решение u(х) задачи (1), (2). Будем считать, что это решение является достаточно гладким.

Уравнение (1) можно трактовать как уравнение установившегося распределения температуры u(х) в стержне длины l, на одном концах которого поддерживается заданная температура u1 и u2. При этом k(x)—коэффициент теплопроводности, —k(x)u'(x) — тепловой поток, коэффициенты q(x), f(x) характеризуют плотность тепловых источников.

Для построения разностной схемы введем прежде всего на отрезке [0;l] равномерную сетку с шагом h, т. е. множество точек . Обозначим и проинтегрируем уравнение (1) на отрезке . Тогда получим уравнение

(3)

которое представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке . Изменение количества тепла на этом отрезке представляет собой разность . Чтобы из уравнения (3) получить разностное, заменим параметр  и интеграл, содержащий функцию температуры u, линейными комбинациями значений исходной функции в узлах сетки. Для этого воспользуемся простейшей интерполяцией в окрестностях узла , т.е.

. Тогда . Определим среднее значение функций q(x),f(x) на отрезке следующим образом

и , h- это длина отрезка .

В результате вместо уравнения (3) получим уравнение

(4)

Выразим теперь через значения функции u(х) в точках сетки. Для этого проинтегрируем соотношение на отрезке . Будем считать, что на этом отрезке . Тогда получим



Обозначая , получим для и следующие выражения

(5)

Подставляя эти выражения в уравнение (4), получим уравнение, являющееся основой консервативной разностной схемы

(6)

Это уравнение по своему построению является разностным аналогом основного дифференциального уравнения (1). Т.к. - значение искомой функции в произвольной точке, можем записать уравнение (7) во всех точках сетки, в которых оно определено, т. е. при i = 1, 2,..., N—1. Получим систему N—1 линейных алгебраических уравнений относительно N + 1 неизвестных . Два недостающих уравнения получаются путем аппроксимации граничных условий (2). Получим следующую консервативную разностную схему

i = 1, 2,..., N—1 (7)

Эта система (7) может быть решена методом прогонки, т.к. ее матрица является трехдиагональной. В теории разностных схем доказывается, что построенная схема аппроксимирует исходную задачу со вторым порядком по h и является устойчивой, при достаточной гладкости коэффициентов k(x), q(x), f(x) исходного уравнения. Следовательно, схема (7) сходится к точному решению со вторым порядком по h.