30. Построение разностных схем для нелинейного нестационарного одномерного уравнения теплопроводности.

Рассмотрим краевую задачу, в основе которой лежит нестационарное, одномерное, нелинейное уравнение теплопроводности. Нелинейным это уравнение является потому, что коэффициент теплопроводности и источник тепла являются функциями от температуры

(1)

u(x,0)=u0(x) начальное условие (2)

u(0,t)=u1(t) граничное условие слева (3)

u(1,t)=u2(t) граничное условие cправа (4).

Предполагаем, что . Нелинейность коэффициента теплопроводности приводит к новым физическим явлениям, главным из которых является конечная скорость распространения тепла. Имеющая место нелинейность и обращение в бесконечность производной на фронте температурной волны представляет значительные трудности для построения численного решения таких задач. Поэтому в обязательном порядке любое численное решение должно быть апробировано на основе тестов, в основе которых лежат точные решения поставленной задачи.

При построении разностных схем для задач с нелинейным уравнением теплопроводности избегают использовать явные схемы, т.к. заранее неизвестны пределы изменения коэффициента теплопроводности k(u). А условие устойчивости явной схемы всегда требует достаточно мелкого шага по времени, причём этот шаг по времени определяется максимальным значением коэффициента теплопроводности.

(5)

Это утверждение вытекает из принципа замороженных коэффициентов. Поэтому применяют безусловно устойчивые неявные разностные схемы.

Для построения неявных разностных схем следует, во-первых, ввести пространственно-временную сетку, в узлах которой определить сеточную функцию для аппроксимации исходного решения. Далее выбрать шаблон для аппроксимации производных по пространству и времени. Полученные аппроксимации подставить в исходное уравнение, добавить аппроксимацию граничных условий и решить полученную систему уравнений

Чисто неявная схема для уравнения теплопроводности имеет вид

(6)

Здесь , . Схема (6) с аппроксимацией граничных условий будет абсолютно устойчивой, при этом имеет первый порядок сходимости по времени и второй по пространству. Решение принято находить методом прогонки, т.к. при преобразовав (6) можно показать, что матрица этой системы имеет трёхдиагональный вид и условие устойчивости прогонки выполняется. Т.к. схема является абсолютно устойчивой, то шаг по времени  выбирается только из соображений точности вычислений.

Для решения нелинейной задачи теплопроводности можно применять следующую схему

(7)

Коэффициент теплопроводности k(u) в этой схеме рассчитывается на j+1 слое и схема (7) будет нелинейной.

, . .

Схема (7) также будет абсолютно устойчивой с первым порядком сходимости по времени и вторым по пространству, и, следовательно, не имеет ограничений на шаг по времени. Схема (6) была линейной относительно функции . Схема (7) является нелинейной относительно функции , и поиск решения такой системы должен выполняться каким-либо итерационным методом. Итерационный процесс строят следующим образом

(8)

Параметр s- это номер итерации. В качестве нулевой итерации нужно брать значение функции из предыдущего слоя (шага по времени), т.е. . На практике оказывается достаточным при применении любого итерационного метода выполнить 2 - 3 шага, причём на каждом из шагов очередное решение ищется методом прогонки.

При использовании итерационного процесса, как правило, задаётся число итераций, либо некоторое число ε>0, которое управляет точностью поиска решения, требуя выполнения условия .

Недостаток схемы (7) или (8) состоит в том, что использование итерационного метода требует удвоения числа ячеек памяти, отводимых под коэффициенты системы по сравнению со схемой (6), т.к. требуется сохранить решение на двух соседних итерациях. Однако, практические расчёты показали, что, если для получения решения по (6) и (7) выставить одинаковые требования к точности решения, то схема (7) позволяет использовать настолько крупный шаг по времени, что в итоге, несмотря на наличие итераций, общий объём вычислений будет меньше, чем при использовании схемы (6).

При построении схем (7) и (6) надо учитывать, что способ аппроксимации коэффициента теплопроводности очень сильно влияет на требуемую точность расчёта. Для аппроксимации этого коэффициента принято использовать формулы:

(9)

(10)

(11)

Использование этих формул очень сильно зависит от вида нелинейной функции, описывающей изменение коэффициентов теплопроводности. В случае, когда коэффициент теплопроводности – степенная функция температуры, , где m есть некоторая константа, не следует использовать формулу (11). В этом случае применение формулы (9) даст более точное решение по сравнению с аппроксимацией по формуле (10). Однако, если коэффициент теплопроводности имеет нелинейность другого вида, то на пригодность формулы следует провести несколько контрольных расчётов, в которых для аппроксимации коэффициента теплопроводности следует взять формулы различного вида (9) – (11). Провести анализ полученных решений и затем выбрать ту формулу, которая имеет наилучший результат в тестовых расчётах.

Для решения нелинейного уравнения теплопроводности могут использоваться также схемы, имеющие второй порядок аппроксимации по пространству и по времени. Однако, такие схемы имеют существенный недостаток – они не являются монотонными. Следовательно, для получения хороших результатов в таких схемах приходится использовать очень мелкий шаг по времени.

Если уравнение (1) имеет слабую нелинейность только за счёт источников тепла, т.е. k=k(x,t), а f=f(u), то иногда для решения такого уравнения используются схемы предиктор-корректор, которые в итоге дают точность второго порядка по пространству и по времени.