27,28,29. Принцип замороженных коэффициентов для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.

До сих пор мы рассматривали самый простой случай построения разностных схем для уравнения теплопроводности, т.е. в основе смешанной задачи лежало линейное уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами. Однако очень многие процессы, протекающие при высоких температурах (например, в плазме) имеют коэффициент теплопроводности, который может быть описан в виде нелинейной функции. Точно так же от температуры и даже градиента температуры могут зависеть параметры среды и даже источник тепла. Например, такая зависимость имеет место при моделировании процесса некоторой химической реакции.

Рассмотрим решение методом сеток краевой задачи для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.

(1)

u(x,0)=u0(x) – начальное условие (2)

u(0,t)=u1(t) – граничное условие слева (3)

u(1,t)=u2(t) – граничное условие cправа (4).

Все функции u0(x), u1(t),u2(t) предполагаются заданными, (x,t),k(x,t),f(x,t) – достаточно гладкие функции, причем (5).

Построим пространственно-временную сетку , на которой определим сеточную функцию для всех узлов . Дифференциальное выражение на каждом временном слое, т.е. при каждом фиксированном значении t будем аппроксимировать в произвольной точке следующим разностным отношением:

(6)

Правую часть уравнения (1), т.е производную по пространству мы можем аппроксимировать со вторым порядком аппроксимации. Чтобы разностная схема в целом имела второй порядок аппроксимации по пространственной переменной, разностный коэффициент теплопроводности должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации, т.е. необходимо выполнение следующих равенств

(7)

(8)

В теории разностных схем доказывается, что такой аппроксимацией для коэффициента теплопроводности будут служить выражения

(9)

(10)

(11)

От способа вычисления аппроксимирующего выражения для k, то есть будет очень сильно зависеть точность расчета результирующего значения искомой функции. Иногда имеет смысл проведения численных расчётов (вычислительного эксперимента) с различными аппроксимациями для коэффициента , то есть использования формул (9)-(11). Сравниваются погрешности полученных таким образом решений, и выбирается наилучшее выражение для данной задачи.

При исследовании устойчивости разностных схем, построенных для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами, иногда применяют принцип замороженных коэффициентов. Его суть состоит в том, что схема на устойчивость исследуется при условии, что её коэффициенты - постоянные величины. Находят условия устойчивости для такой схемы, а затем это условие распространяют на область определения коэффициентов схемы.

Явная схема:

Пусть имеет задачу: (1)

u(x,0)=u0(x) – начальное условие (2)

u(0,t)=u1(t) – граничное условие слева (3)

u(1,t)=u2(t) – граничное условие cправа (4).

В основе этой задачи лежит одномерное нестационарное уравнение теплопроводности, в котором коэффициент теплопроводности является функцией координат х и t. Чтобы построить разностную схему для такой задачи, необходимо ввести пространственно временную сетку, в узлах которой определить сеточную функцию и далее, в зависимости от выбранного шаблона, можно строить разностные схемы. Наиболее общей будет являться разностная схема с весами: (5)

(6)

В этой схеме принимаем: и в качестве параметра по времени можно взять любое значение . Например, если взять и вес , то можем получить разностную схему, имеющую второй порядок аппроксимации и по времени, и по пространству, но при этом необходимо потребовать такой же порядок аппроксимации для коэффициентов схемы. Исследование значений параметров схемы следует проводить по принципу замороженных коэффициентов.

Рассмотрим алгоритм принципа замороженных коэффициентов при построении явной схемы. Явную схему можно получить из системы (5), если принять значение веса σ = 0. Для простоты будем полагать также , т.е. имеем: (7)

При таких предположениях согласно принципу замороженных коэффициентов, мы должны считать, что . Тогда уравнение (7) можно записать в следующем виде: (8)

Введём обозначение . В этом случае уравнение (8) принимает вид, который совпадает с явной схемой одномерного нестационарного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами: (9)

Известно, что такое уравнение будет устойчиво, если выполняются условия , т.е. (10)

Таким образом, согласно принципу замороженных коэффициентов, можно утверждать: если условие (10) выполняется, то построенная схема (7) будет устойчивой при всех допустимых значениях коэффициента теплопроводности и плотности .Это означает, что для всех x и t должны выполняться неравенства: или (11)

Из исходной постановки задачи следуют условия, которые накладывается на эти коэффициенты, т.е. должны выполняться неравенства 0<c1≤a(x,t)≤c2, ρ(x,t)≥c3>0. Следовательно, неравенства (11) будут верными, если вместо ρ подставим минимальное значение, а вместо a подставим максимальное: (12)

В случае, когда выполняется (12) построенная схема будет устойчивой, решение исходной задачи теплопроводности с переменными коэффициентами сводится к системе уравнений вида ( в предположении, что функция источника не равна нулю):

(13)

Явная схема является условно устойчивой, её использование не всегда целесообразно. Для исключения условной устойчивости принято использовать неявные схемы, которые обладают абсолютной устойчивостью.