25. Методы решения сеточных уравнений. Метод дробных шагов.
Рассмотрим методику конструирования схемы метода дробных шагов на примере модельной задачи Коши для двумерного уравнения теплопроводности.
Построить
схему метода дробных шагов для решения
задачи Коши:
u(x,
z,
0) = ψ(x,
y)
- начальное условие, где ψ(x,
у)
– заданная функция.
Зададим
сетку
,
где
.
Оператор правой части исходного
уравнения, как в методе расщепления,
представим в виде суммы двух операторов:
A
= A1
+ A2,
Далее
эти операторы аппроксимируются
отдельно друг от друга. В отличие от
метода расщепления вводится вспомогательный
(промежуточный) слой, соответствующий
значению
.
Как в методе переменных направлений,
сначала осуществляется переход на
промежуточный
слой с дробным шагом
,
а затем с тем же шагом на целый
k+
1 слой.
Наряду с исходной задачей рассмотрим две вспомогательные задачи Коши:
задача
1, в которой решается уравнение:
с
начальным условием:
задача
2, в
которой решается уравнение:
с начальным условием
Поставленные
задачи могут быть решены последовательно:
сначала задача 1, а затем задача 2. Решая
задачу 1, можно найти функцию
,
которая определяет начальное условие
задачи 2. Решая задачу 2, можно найти
функцию
Задача
1 при фиксированном
z
и
задача 2 при фиксированном
х
фактически являются одномерными. Как
и в методе расщепления, функция
является приближенным решением исходной
задачи на (k
+ 1)-м слое, т.е. можно положить
.
При реализации метода используем семиточечный шаблон, изображенный на Рис. 1. Переход с k-го временного слоя на (k+1)-й разбивается на два этапа.
Первый этап. Переход на дополнительный промежуточный -й слой с шагом . В задаче 1 частная производная по времени аппроксимируется по правой разностной схеме, производная по х аппроксимируется по формуле разностной производной второго порядка на -м слое. Соответствующая разностная схема имеет вид:
(1)
:
Предполагаем,
что приближенное решение задачи
.
Для
каждого j
требуется решить трехдиагональную
систему линейных алгебраических
уравнений, так как каждое уравнение
содержит три неизвестных значения
,
а остальные значения берутся с k-го
слоя. Иными словами, при таком переходе
схема является неявной. Искомые значения
на промежуточном слое вычисляются
методом прогонки по направлению х.
Второй
этап.
Переход на (k
+1) временной слой с промежуточного
-го
с шагом
.
Частная производная по времени
аппроксимируется
по правой разностной схеме, производная
по х
аппроксимируется
по формуле разностной производной
второго порядка на
-м
слое. Соответствующая разностная схема
имеет вид:
(2)
Для
каждого значения i
требуется решить трехдиагональную
систему линейных алгебраических
уравнений, так как каждое уравнение
содержит три неизвестных значения
,
а остальные значения берутся с
-го
слоя. Иными словами, при таком переходе
схема является неявной. Искомые
значения на целом слое вычисляются
методом прогонки по направлению z.
Далее полагают
,
i,
j
= 0,1, 2,...
Можно показать, что схема (1)—(2) метода дробных шагов имеет первый порядок аппроксимации по τ и второй по h и является абсолютно устойчивой.
Диагональные элементы в системах (1), (2) преобладают, следовательно, процесс прогонки устойчив. К достоинствам метода, достигнутым благодаря введению промежуточного слоя, следует отнести расщепление исходной задачи на две более простые, решаемые с помощью алгоритма скалярной прогонки.
К недостаткам метода относится сравнительно низкая точность из-за того, что на каждом дробном шаге аппроксимируется только один пространственный оператор, т.е. в нем имеет место только частичная аппроксимация пространственных операторов на каждом дробном временном слое.