23. Методы решения сеточных уравнений. Метод переменных направлений.

Основная алгоритмическая идея метода переменных направлений состоит в том, что для перехода с одного временного слоя с номером k на слой с номером k+1 нужно решать методом прогонки трехточечные разностные уравнения сначала вдоль строк, т.е. по координате «х», а затем вдоль столбцов, т.е. по координате «z». Таким образом, происходит постоянное чередование направлений. Иногда такие схемы называют продольно-поперечными или схемой Писмена-Рэкфорда по именам авторов, её предложивших.

Рассмотрим применение метода переменных направлений на примере решения смешанной задачи, в основе которой лежит двумерное нестационарное уравнение теплопроводности: 0≤x≤1,0 ≤z≤1, 0≤t≤T (1)

Будем строить разностную схему для этой задачи, используя сетку , но переход от слоя k на слой с номером k+1 проведем в два этапа. На первом этапе аппроксимируем вторую производную по одной из координат, например , на промежуточном слое , а производводную - на слое k. В этом случае для имеем неявную аппроксимацию, а аппроксимируется явно. На втором этапе – наоборот, строим неявную аппроксимацию по направлению z, т.е. для применяем конечно разностную формулу на k+1 слое, а по направлению «x» используем слой , в узлах которого значения функции уже известны. Строим разностную схему для уравнения (1) в точке как совокупность двух разностных схем следующего вида

+ (2)

+ (3)

Мы получили два уравнения, каждое из которых соответствует неявной схеме по одному из пространственных направлений. Уравнение (2) - неявно для параметра «х» и явное для переменной «z». Схема (3) – явна для для параметра «х» и является неявной для направления «z».

Эти уравнения (2)-(3) можно переписать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений искомой сеточной функции в узлах сетки на и k+1 слоях соответственно

(4)

(5)

i=1,…,N-1; j=1,…,M-1

К системам (4)-(5) необходимо добавить разностные граничные условия с учетом дробных шагов по времени. Матрицы этих систем являются трехдиагональными. Следовательно, решать системы можно методом одномерной прогонки, т.к. условия их устойчивости выполняются. При этом сначала необходимо решить систему (4). Для начала счета используем начальное условие и определяем значения функции на промежуточном слое, т.е. . Полученное решение используем для вычисления опять же методом прогонки значений сеточной функции на слое k+1. Чередование прогонки по строкам и столбцам продолжаем до полного разрешения исходной задачи.

Построенная схема переменных направлений безусловно устойчива и имеет скорость сходимости О( ). Она является весьма эффективной для случая двух пространственных переменных, однако не может быть формально обобщена на случай 3-х и более пространственных переменных, т.к. в этих случаях схема получается неустойчивой.

24. Методы решения сеточных уравнений. Схемы расщепления.

К экономичным методам решения задач математической физики относят также схемы расщепления, одним из первых авторов которых является Н.Н.Яненко. Построение схем такого типа основано на введении на каждом шаге по времени промежуточных этапов, чтобы оформить запись одномерной аппроксимации по одному из пространственных направлений. Многомерная задача в этом случае «расщепляется» на последовательность одномерных задач по каждой из координат. Поэтому такие схемы называются схемами расщепления по координатам. Рассмотрим идею построения такой схемы на примере нестационарного двумерного уравнения теплопроводности: 0≤x≤1,0 ≤z≤1, 0≤t≤T (1)

Будем полагать, что задан некоторый дифференциальный оператор , причем этот оператор можно записать в виде суммы двух операторов: . Тогда уравнение (1) в операторной форме можно записать: (2)

Решать это уравнение будем как последовательность уравнений по слоям для k=0,1,…,K

(3)

(4)

Задача (3) решается при фиксированном значении параметра z, а задача (4) - при фиксированном параметре x. Обе задачи фактически являются одномерными и могут решаться на основе известных явных и неявных схем. Причем, последовательно решая сначала задачу (3), мы найдем функцию которая будет определять начальное условие для задачи (4). Для получения численного решения исходной двумерной нестационарной задачи теплопроводности на основе метода сеток необходимо ввести пространственно-временную сетку , все необходимые сеточные функции, выбрать шаблон для аппроксимации дифференциальных операторов А1 иА2 и записать две локально одномерные схемы.

(5)

(6)

i=1,…,N-1; j=1,…,M-1; k=0,1,…,K-1, p – это число, не превышающее количество составных дифференциального оператора А, в нашем случае p=1 или p=2. Схема расщепления по координатам (5) - (6) фактически представляет собой двукратную неявную схему для одномерного уравнения теплопроводности, она устойчива по начальным данным, имеет первый порядок аппроксимации по времени и второй по пространственным координатам, т.е. равномерно сходится со скоростью . Системы уравнений (5) - (6) являются трехдиагональными и решаются с помощью метода прогонки. На первом этапе находят вспомогательное значение по известному значению , на втором – по вычисленному значению определяется значение сеточной функции , которая аппроксимирует искомое решение задачи (1). Таким образом, процесс решения исходной двумерной нестационарной задачи теплопроводности заменен процессом решения двух одномерных задач в силу расщепления дифференциального оператора А на сумму двух операторов .

Построенные локально одномерные схемы легко обобщаются на случай произвольного количества пространственных переменных. При этом каждая новая переменная требует введения одного промежуточного этапа на каждом шаге по времени.

Предположим, что

(7)

В этом случае многомерную нестационарную задачу функции сводим к решению последовательности уравнений для каждого временного слоя k=0,1,…,K

(8)

Разностная аппроксимация уравнений (8) даст следующую схему расщепления

p=1,2,…,S (9)

Здесь - дифференциальный разностный оператор для аппроксимации частной производной второго порядка по пространственным переменным. К системе (9) добавляют соответствующие начальные и граничные условия. Искомая функция задачи (1) будет найдена последовательным решением «р» одномерных систем на каждом шаге по времени.

Необходимо отметить, что в схемах расщепления по координатам отсутствует аппроксимация на каждом промежуточном этапе. Используемые на промежуточных «р» этапах одномерные разностные схемы не аппроксимируют исходную задачу. В этих схемах имеет место лишь суммарная аппроксимация на слоях с целыми номерами. Погрешности аппроксимации промежуточных слоев при суммировании уничтожаются. Такие схемы с суммарной аппроксимацией называются аддитивными.

В описанном методе расщепление по координатам произведено на уровне задач. В методе переменных направлений расщепление на уровне задач не делается, но слагаемые оператора А аппроксимируют на различных временных слоях.

Другая группа методов расщепления основана на расщеплении задачи по физическим процессам, когда отдельные слагаемые оператора А соответствуют различным физическим явлениям. Например, неравновесным химическим или колебательным процессам, процессам подогрева, двухфазным процессам и т.д. На каждом шаге по времени исходная сложная задача, описывающая физический процесс при наличии нескольких влияющих на него факторов расщепляется на более простые задачи.