21. Решение двумерной нестационарной задачи теплопроводности разностными методами. Пз.
Рассмотрим смешанную задачу (начально-краевую), в основе которой лежит двумерное уравнение теплопроводности: 0≤x≤1,0 ≤z≤1, 0≤t≤T (1)
Для получения однозначного решения задачи нужно указать дополнительные условия: одно (т.к. производная по времени первого порядка) начальное – на нижней грани параллелепипеда, и 4 граничных – на боковых его гранях, т.е.
u(x,z,0)=u0(x,z) – начальное условие (2)
u(0,z,t)=u1(z,t) – граничное условие слева для х (3)
u(1,z,t)=u2(z,t) – граничное условие cправа для х (4)
u(x,0,t)=u3(x,t) – граничное условие слева для z (5)
u(x,1,t)=u4(x,t) – граничное условие cправа для z (6).
В частности граничные условия могут быть const или нулевыми. Начальное и граничные условия должны быть согласованы, т.е.
u(0,z,0)=u0(0,z)=u1(z,0) – по x
u(1,z,0)=u0(1,z)=u2(z,0) – по x
u(x,0,0)=u0(x,0)=u3(x,0) – по z
u(x,1,0)=u0(x,1)=u4(x,0) – по z
Будем решать задачу (1)-(6) методом сеток. Введем простейшую пространственно-временную сетку в виде прямоугольных параллелепипедов, которые получаются пересечением трех семейств плоскостей
(7)
Точки пересечения этих параллелепипедов образуют узлы сетки с координатами ( ). Среди узлов различают внутренние и граничные. Слоем называется множество всех узлов сетки, имеющих одну и ту же временную координату. Так k-ым слоем является множество узлов j=0,1,…,M, k=const.
Для аппроксимации решения исходной задачи (1)-(6) в узлах сетки определим сеточную функцию , для которой введем обозначение .
Производную по времени в узле i=0,1,…,N; j=0,1,…,M; k=0,1,…,K-1 можно заменить разностным отношением: (8),
Выражение (8) имеет первый порядок аппроксимации по переменной t. Для аппроксимации производных второго порядка по пространственным переменным следует воспользоваться формулой второй разностной производной, вид которой должен соответствовать выбранному шаблону.
Рассказать про явную и неявную схему для двумерного нестационарного уравнения теплопроводности.
22. Неявные схемы для двумерного нестационарного уравнения теплопроводности.
Д
ля
решения задачи (1)-(6) можно построить
абсолютно устойчивую неявную схему.
Применение метода сеток будет аналогично
случаю явной схемы, но для аппроксимации
частных производных по пространству
выберем шаблон вида:
Соответственно имеем
(19)
(20)
В произвольном внутреннем узле получим следующее конечно разностное уравнение, которое можно распространить на всю сетку
+
(21)
i=1,…,N-1; j=1,…,M-1; k=0,1,…,K-1
Запишем (21) в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции на каждом слое k=0,1,…,K-1
(22)
i=1,…,N-1; j=1,…,M-1;
К этой системе добавим граничные условия для определения значений сеточной функции в граничных узлах
j=0,1,…,M
(23)
i=0,1,…,N
(24)
На нулевом слое решение возьмем из начального условия
j=0,1,…,M (25)
Построенная схема устойчива при любых значениях шагов h1, h2 и . Однако недостатком этой схемы является необходимость решения на каждом временном слое системы уравнений (22)-(24). Методы решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида для решения системы (22)-(24) оказываются непригодными в силу того, что во-первых, как правило эти системы имеют очень большие размеры, а во-вторых, эти системы необходимо многократно решать - на каждом временном слое. Однако матрица системы является пятидиагональной и сильно разреженной. Поэтому для решения системы (22)-(24) используют методы решения, которые учитывают специфический вид матрицы. Эти методы основаны на сведении многомерной задачи к последовательности одномерных задач. В этом случае возникают разностные методы, которые сочетают лучшие качества явных и неявных схем: безусловную устойчивость и простоту решения полученной системы разностных уравнений. Такие схемы принято называть экономичными. Первые экономичные схемы появились в середине 20 века и были названы методами переменных направлений.