19.Простейшая неявная схема для одномерного уравнения свободных колебаний струны.

Для построения этой схемы на сетке вторую производную по времени аппроксимируем как и в случае построения явной схемы по слоям j-1, j, j+1, т.е.

(21)

Вторую производную по пространственной координате заменяем полусуммой ее аппроксимаций на j+1 и j-1 слоях:

(22)

В результате получим следующую схему для всех внутренних точек сетки

(23)

Разностную систему можно преобразовать к виду системы уравнений относительно неизвестных значений сеточной функции на j+1 слое:

(24)

Полученная неявная схема, в основе которой лежит система (24), является устойчивой и сходится со скоростью О(τ²+h²). Эту систему следует решать методом прогонки, добавив разностные начальные и граничные условия. Эти условия должны использоваться для вычисления искомого решения на нулевом и первом слоях по времени.

20. Явная схема для двумерного нестационарного уравнения теплопроводности.

Рассмотрим смешанную задачу (начально-краевую), в основе которой лежит двумерное уравнение теплопроводности: 0≤x≤1,0 ≤z≤1, 0≤t≤T (1)

Для получения однозначного решения задачи нужно указать дополнительные условия: одно (т.к. производная по времени первого порядка) начальное – на нижней грани параллелепипеда, и 4 граничных – на боковых его гранях, т.е.

1. u(x,z,0)=u0(x,z) – начальное условие (2)

2. u(0,z,t)=u1(z,t) – граничное условие слева для х (3)

3. u(1,z,t)=u2(z,t) – граничное условие cправа для х (4)

4. u(x,0,t)=u3(x,t) – граничное условие слева для z (5)

5. u(x,1,t)=u4(x,t) – граничное условие cправа для z (6).

В частности граничные условия могут быть const или нулевыми. Начальное и граничные условия должны быть согласованы, т.е.

u(0,z,0)=u0(0,z)=u1(z,0) – по x

u(1,z,0)=u0(1,z)=u2(z,0) – по x

u(x,0,0)=u0(x,0)=u3(x,0) – по z

u(x,1,0)=u0(x,1)=u4(x,0) – по z

Будем решать задачу (1)-(6) методом сеток. Введем простейшую пространственно-временную сетку в виде прямоугольных параллелепипедов, которые получаются пересечением трех семейств плоскостей

(7)

Точки пересечения этих параллелепипедов образуют узлы сетки с координатами ( ). Среди узлов различают внутренние и граничные. Слоем называется множество всех узлов сетки, имеющих одну и ту же временную координату. Так k-ым слоем является множество узлов j=0,1,…,M, k=const.

Для аппроксимации решения исходной задачи (1)-(6) в узлах сетки определим сеточную функцию , для которой введем обозначение .

Производную по времени в узле i=0,1,…,N; j=0,1,…,M; k=0,1,…,K-1 можно заменить разностным отношением: (8),

В ыражение (8) имеет первый порядок аппроксимации по переменной t. Для аппроксимации производных второго порядка по пространственным переменным следует воспользоваться формулой второй разностной производной, вид которой должен соответствовать выбранному шаблону.

Для решения задачи (1)-(6) будем строить явную разностную схему на основе 5-точечного шаблона

Будем использовать для аппроксимации производных по пространству в узле i=0,1,…,N; j=0,1,…,M; k=0,1,…,K-1 следующие конечные разности: (9)

(10)

Подставим выражения (8)-(10) в уравнение (1) и получаем его аппроксимацию для произвольного узла: + (11)

Выражение (11) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в узле с первым порядком по  и вторым по h1 и h2. Для завершения построения разностной схемы распространим уравнение (11) на все внутренние узлы сетки . Начальное и граничные условия заменим их точными значениями в соответствующих узлах сетки. Получим: + (12)

i=1,…,N-1; j=1,…,M-1; k=0,1,…,K-1 j=0,1,…,M (13)

j=0,1,…,M; k=0,1,…,K (14)

i=0,1,…,N; k=0,1,…,K (15)

Из уравнения (12) можно найти явное выражение сеточной функции для поиска решения исходной задачи (1)-(6) по слоям.

(16)

По формуле (16) можно определить значения сеточной функции во всех внутренних узлах сетки. На нулевом слое ее значения определяется из начального условия (13), а на всех боковых гранях – из граничных условий (14)-(15).

Явная схема (12)-(15) имеет аппроксимацию первого порядка по времени  и второго по пространству - по h1 и h2. Доказывается, что эта схема условно устойчива. Условие устойчивости имеет вид: (17)

Если по пространственным переменным строится квадратная сетка, т.е. h1=h2, то условие устойчивости будет иметь вид: (18)

Жесткое ограничение на шаг по времени является недостатком построенной явной схемы. Например, если по пространственным переменным брать шаг h=0.01, то устойчивость будет гарантирована только в том случае, если шаг по времени не превышает значения . И, если требуется найти решение задачи для момента времени t=1, то потребуется совершить 40000 шагов по времени (k=t/), что совершенно неприемлемо для практических вычислений.