17.Явная схема для одномерного уравнения свободных колебаний струны.

Рассмотрим одномерное волновое уравнение (1)

Если ввести безразмерные переменные по пространству и времени , то уравнение (1) запишется в виде (2)

В начальный момент времени необходимо задать два условия, т.к. количество условий должно совпадать с количеством входящих в уравнение производных по времени. Для уравнения колебаний струны эти условия таковы: (3) (4)

Соотношение (3) - это начальное отклонение точек струны, а (4) – начальная скорость соответствующих точек.

Граничные условия представляют функциями движения концов струны, т.е.

(5)

(6)

Если концы струны закреплены, то смещения будут равны нулю, т.е. u1(t)=0, u2(t)=0

Будем решать задачу (2)-(6) методом конечных разностей. В области, ограниченной отрезками 0≤x≤1 и 0≤t≤T построим пространственно-временную прямоугольную сетку , в узлах которой определим сеточную функцию . В соответствие с выбранным шаблоном конечно-разностную производную второго порядка по времени заменим выражением (7), а вторую производную по параметру х аппроксимируем как (8).

В результате подстановки этих соотношений в уравнение (2) получим конечно- разностное уравнение следующего вида (9),

которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в узле со вторым порядком по  и h.

Распространим уравнение (9) на все внутренние узлы сетки и учтем начальные и граничные условия. Получаем (10)

Проведем замену граничных условий и начального условия:

(11)

(12)

Разностное уравнение (10) имеет второй порядок аппроксимации по по  и h, уравнения (11)-(12) этот порядок сохранили. Поэтому желательно подобрать такое разностное соотношение для замены второго начального условия (4), чтобы построенная схема имела второй порядок аппроксимации по двум параметрам. Простейшая замена имеет лишь первый порядок аппроксимации по τ.

Чтобы записать разностное выражение для начального условия (4), воспользуемся разложением фу-ии u в р. Тейлора (*),

в котором перенесем второе слагаемое из правой части в левую. Имеем

(**)

Выражение в левой части последнего выражения (**) можно заменить на основании (4) как , Первое слагаемое в правой части заменим конечно-разностным выражением . Для второго слагаемого учтем начальное условие (3) и на основании дифференциального уравнения (2) запишем равенство . Следовательно, для второго слагаемого можно записать следующую аппроксимацию . Имеем для выражения (**)

(***)

Перепишем соотношение (***) следующим образом

(13)

Это выражение (13) является конечноразностной аппроксимацией второго начального условия (4), порядок этой аппроксимации равен О(τ²+h²).

Совокупность уравнений (10)-(13) составляет разностную схему, которая аппроксимирует исходную задачу (2)-(6) колебаний струны, т.е. смешанную задачу гиперболического типа. Эта схема имеет второй порядок погрешности аппроксимации по времени и пространству О(τ²+h²). Схема является явной, т.е. решение явным образом выражается через значения этой функции на двух предыдущих слоях.

(14)

Доказывается, что разностная схема (10)-(13) является условно устойчивой. Необходимое и достаточное условие устойчивости имеет вид: (15)

Если в основе задачи одномерных колебаний струны лежит уравнение вида (1), т.е коэффициент , то и условие устойчив. будет выглядеть: (16)

Начинать счет по формуле (14) можно только для 2-го слоя, решение на нулевом слое – это начальное условие (3). Решение на первом слое находим из соотношения (13), т.е. (17)

И далее решение получаем по формулам (14).