15. Трёхслойные схемы для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности.

Трёхслойные схемы для уравнений теплопроводности применяются значительно реже, чем двухслойные. Иногда их использую для повышения порядка аппроксимации или для улучшения устойчивости. Запишем уравнение теплопроводности в упрощенном виде без источников (1)

и рассмотрим несколько схем.

1. явная симметричная схема второго порядка аппроксимации (схема Ричардсона) использует шаблон крест и выглядит следующим образом

(2)

Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по  и по h, но является абсолютно неустойчивой. Т.е. схема неустойчива при любых сочетаниях шагов по пространству и времени, и, следовательно, непригодна для использования.

2. Схема «ромб» (схема Дюфорта и Франкела)

Для получения этой схемы в уравнении (2) заменим на полусумму вида. и получим следующую схему

(3)

Эта схема является явной относительно и абсолютно устойчивой при любых сочетаниях шагов по пространству и времени, но обладает условной аппроксимацией. Исходное уравнение будет аппроксимироваться этой схемой лишь про условии, что при одновременном стремлении к нулю  и h.

3. иногда используют трехслойные схемы с весами. Например, для уравнения теплопроводности с источником можно построить трехслойную симметричную разностную схему вида (4)

Эта схема при любых значениях веса  имеет второй порядок аппроксимации по  и h и является устойчивой при . Задачу следует решать методом прогонки. На нулевом слое используем начальные условия, на первом значения сеточной функции определяются по какой-либо двухслойной схеме, а затем переходим непосредственно к схеме (4).

16.Постановка разностной задачи для одномерного уравнения колебаний струны.

Методы сеток для решения гиперболических уравнений имеют много общего с соответствующими методами для параболических уравнений. Однако они имеют и свои особенности, связанные с типом уравнения.

Рассмотрим одномерное волновое уравнение (1)

Для поперечных колебаний струны функция смещения u=u(x1,t1) описывает положение точек струны в момент времени t1. В этом случае коэффициент , где G – натяжение струны,  - ее линейная плотность. Колебания предполагаются малыми, т.е. амплитуда мала по сравнению с длиной струны.

Уравнение (1) записано для случая свободных колебаний струны. Когда имеют место вынужденные колебания струны, то в правой части уравнения (1) добавляют слагаемое, характеризующее внешние воздействия, т.е. функцию f(x1,t1). Сопротивление среды колебательному процессу не учитывается.

Если ввести безразмерные переменные по пространству и времени , то уравнение (1) запишется в виде (2)

В начальный момент времени необходимо задать два условия, т.к. количество условий должно совпадать с количеством входящих в уравнение производных по времени. Для уравнения колебаний струны эти условия таковы:

(3)

(4)

Соотношение (3) - это начальное отклонение точек струны, а (4) – начальная скорость соответствующих точек.

Граничные условия представляют функциями движения концов струны, т.е.

(5)

(6)

Если концы струны закреплены, то смещения будут равны нулю, т.е. u1(t)=0, u2(t)=0.

Доказывается, что задача (2)-(6) является корректной, т.е. имеет единственное решение, которое непрерывно зависит от начальных и граничных данных (устойчиво).

Т.к. в основе задачи (2)-(6) лежит нестационарное дифференциальное уравнение, следовательно, для решения этой задачи необходимо ввести две сетки:

• по пространственной переменной x с шагом h ω_h = {x_i = ih, i = 0 …n}, h = 1/n,

• по переменной t с шагом  ω_ = {t_j = j, j= 0 …K},  = T/K.

В результате такого построения имеем прямоугольную равномерную сетку , которая называется пространственно-временной. Точки с координатами образуют узлы этой пространственно-временной сетки. Среди них различают узлы внутренние и граничные.

Следующим шагом построения разностной схемы для задачи (2)-(6) в узлах сетки для аппроксимации решения исходной задачи определим сеточную функцию , для которой введем обозначение .

Т .к. уравнение (2) содержит вторую производную по времени, то минимальным шаблоном, на котором можно аппроксимировать уравнение (2), является пятиточечный шаблон «крест»

. Таким образом, для аппроксимации волнового уравнения требуется использовать три слоя j-1, j, j+1 и полученные схемы будут трехслойными. Использование таких схем предполагает, что для нахождения значений сеточной функции на j+1 слое уже известны ее значения на двух предыдущих слоях j-1, j.

Производную второго порядка по времени в узле можно заменить разностным отношением (7),

Это соотношение имеет второй порядок аппроксимации по переменной t. Для аппроксимации производной второго порядка по пространственной переменной следует воспользоваться аналогичной формулой второй разностной производной по пространству, вид которой должен соответствовать выбранному шаблону.