1. Математическое моделирование(мм) и вычислительный эксперимент(вэ).

В современном мире есть множество задач, которые могут быть решены только на основе ММ и ВЭ. ВЭ – исследование реальных процессов средствами выч. математики. Исследование реальн. физического процесса методом ВЭ проводится в неск-ко этапов.

Выбор физ-го приближения, т.е. того, какие факторы нужно учесть, а какими можно пренебречь. Это привилегия физиков. Матем-ая форм-ка задачи (выбор математической модели), т.е. определение связей между группой заданных и группой искомых физических величин. Как правило, эта связь выражается алгебраическими, дифференциальными, интегральными или интегро-дифференциальными уравнениями. (Построением моделей занимается математическая физика). На этом этапе обязательно исследуется кач-во построенной модели, т.е. нужно определить: правильно ли поставлена задача; достаточно ли исходных данных, не противоречат ли они друг другу; определить условия, при которых задача разрешима, и имеет ед-ное решение; выяснить, можно ли получить решение в явном виде; можно ли построить частные решения. Частные решения важны для получения первичной информации о характере физического процесса и как тесты для проверки качества численных методов. В качестве примеров математических моделей вышеназванных задач можно привести уравнения Максвелла, закон теплообмена Ньютона, уравнения Эйлера, уравнения Навье-Стокса в механике жидкости и газа, уравнение Шредингера в квантовой механике и др. Производные появляются в уравнениях потому, что они описывают важнейшие физические величины (скорость, ускорение, поток, трение и т.д.). В уравнениях с частными производными неизвестная функция зависит от нескольких переменных.

Применение или построение численного метода решения задачи, т.е. формирование дискретной модели (вычислительного алгоритма).

Выбор среды программировании, создание и отладка готовой программы

Проведение расчетов, анализ полученных результатов и уточнение математической модели.

На каждом из этапов возможна ситуация, когда приходится возвращаться на один или несколько шагов (этапов) назад. В двух случаях: 1)модель слишком груба – результат не согласуется с физическим экспериментом; 2) модель слишком сложна – реш-е с достаточной точностью можно получить при более простых моделях возврат к первому этапу.

Нас интересует этап построения вычислительного алгоритма. Под вычислительным алгоритмом обычно понимают последовательность логических и(или) арифметических операций, с помощью которых находится решение задачи с любой степенью точности >0 за конечное число действий Q(). На практике степень точности может быть ограничена машинными ресурсами, поэтому принципиально важна теоретическая возможность получения решения задачи с любой степенью точности >0. Вычислительный алгоритм должен быть экономичным, т.е. требовать минимальных затрат машинного времени для достижения заданной точности. Реальный алгоритм должен быть устойчивым, т.е. не допускающим неограниченного роста погрешностей округления.

Важно понимать, что вычислительный эксперимент – это не разовый счет по стандартным формулам, а расчет серии вариантов для различных математических моделей и серии значений параметров (метод стрельбы). Разные физические задачи могут иметь одну и ту же математическую модель, но у каждой из них будет своя физическая специфика. Например, уравнение теплопроводности может служить основой математической модели для изучения высокотемпературной плазмы и тепловых процессов в биофизике.

Т.к. математическая модель может изменяться в процессе ВЭ, то программировать необходимо модульно.

Для числ-го решения задач мат-кой физики обычно исп-ся метод конечных разностей (метод сеток), который позволяет свести решение диф-ных уравнений в част-х произв-х к решению системы алгебраических уравнений. Основными понятиями теории разностных схем являются погрешность аппроксимации, устойчивость, сходимость и точность разностной схемы.