шпоры по матану / 46407758-39
.pdf
39.Выпуклость функции на промежутке. Критерий выпуклости.
Хорда, соединяющая точки M1(x1, f(x1)), M2(x2, f(x2)) графика функции f(x) задается функцией
y=L(x, x1, x2 ) = f(x1) |
x2 − x |
+ f(x2) |
x − x1 |
(*) |
x2 − x1 |
x2 − x1 |
Это проверяется подстановкой координат x1, x2 в правую часть (*). Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх на [a,b], если для
x1 x x2 из [a,b] |
|
|
|
|
|
|
||
L(x, x1, x2 ) = f(x1) |
x2 − x |
+ f (x2 ) |
x − x1 |
≤ f (x) |
||||
|
|
|||||||
|
x |
2 |
− x |
|
x |
2 |
− x |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||
Аналогично определяется выпуклая вниз функция. Можно дать определение строгой выпуклости, заменив нестрогое неравенство на строгое в (1) .
Теорема ( Достаточное условие выпуклости )
Если f непрерывна на [a,b], дважды дифференцируема на (a,b) и f''(x)>0 на (a,b), то f строго выпукла вниз.
Доказательство. |
a≤x1 x x2≤b |
имеем |
|
|
|
|
|||
|
é |
x2 - x |
|
x - x1 |
ù |
|
|||
f(x) - L(x, x1, x2 |
)=f(x) - ê f (x1) |
|
+ f (x2 ) |
|
|
|
ú |
= |
|
x - x |
x |
|
- x |
||||||
|
ë |
2 |
1 |
|
|
2 |
1 |
û |
|
= [ f (x) − f (x )] |
x2 − x |
+ [ f (x) − f (x |
|
)] |
|
x − x1 |
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
x |
2 |
− x |
|
|
2 |
|
|
x |
2 |
− x |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
= f '(ξ1 ) |
(x − x1)(x2 − x) |
|
− f '(ξ 2 ) |
(x2 − x)(x − x1 ) |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x2 − x1 |
|
|
|
|
|
x2 − x1 |
|
|
|
|
|
||||
= − f ''(ξ3 )(ξ2 |
− ξ1) |
|
(x − x1)(x2 − x) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x2 |
− x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||