
шпоры по матану / 46407739-34
.pdf34.Определение производной и дифференциала высших порядков. Нарушение свойства инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.
Производная высшего порядка.
Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем
f 0 x0 ≡ f x0
Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением f 1 x0 ≡ f ' x0
Пусть теперь производная n-го порядка f(n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда f n 1 x0 = f n ' x0
Если функция u= f x , y , z имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от x , y , z может иметь в некоторой точке x0 , y0 , z0 частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной
функции u= f x , y , z |
эти производные будут частными производными |
|||||||||
второго порядка (или вторыми частными производными). |
||||||||||
u ' ' x 2= f ' ' x2 x0 , y0 |
, z0 |
или |
2 u |
= |
2 f x0 , y0 , z0 |
|
||||
x2 |
|
|
2 |
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
u ' ' xy = f ' ' xy x0 , y0 |
, z0 |
или |
2 u |
|
= |
f x0 , y0 , z0 |
|
|||
x y |
|
|
x y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Дифференциал высшего порядка.
Для функции, зависящей от одной переменной дифференциалы выглядят так:
z= f x второй и третий
d 2 z=d dz =d z ' dx =dz ' dx= z ' ' dx dx=z ' ' dx2
d 3 z=d d 2 z =d z ' ' dx2 =dz ' ' dx2= z ' ' ' dx dx2=z ' ' ' dx3
Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции
z= f x : |
d n z−z n dxn |
|
При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что dx |
есть |
|
произвольное и не зависящее от x , которое при дифференцировании по |
x |
|
следует рассматривать как постоянный множитель. |
|
Нарушение свойства инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.
При n≥2, n -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности
первого дифференциала), то есть выражение d n f зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная x как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .
Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.
При |
n=2 и y= f x =x3 : |
||
• |
если |
x — независимая переменная, то |
|
|
d 2 y=d 2 f x = x3 ' ' dx 2=6x dx 2 |
||
• |
если |
x= t =t 2 и dx=d t = ' t dt=2tdt |
|
|
1. |
6x dx 2=6t2 2tdt 2=24t4 dt 2 |
|
|
2. при этом, |
y= x3= t2 3=t 6 и d 2 y= t 6 ' ' dt 2=30t4 dt 2 |
|
С учётом зависимости |
x=t 2 , уже второй дифференциал не обладает |
свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.