Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
28
Добавлен:
11.05.2014
Размер:
48.43 Кб
Скачать

34.Определение производной и дифференциала высших порядков. Нарушение свойства инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.

Производная высшего порядка.

Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно. Полагаем

f 0 x0 f x0

Если функция f дифференцируема в x0, то производная первого порядка определяется соотношением f 1 x0 f ' x0

Пусть теперь производная n-го порядка f(n) определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема. Тогда f n 1 x0 = f n ' x0

Если функция u= f x , y , z имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от x , y , z может иметь в некоторой точке x0 , y0 , z0 частные производные по той же или по любой другой переменной. Для исходной

функции u= f x , y , z

эти производные будут частными производными

второго порядка (или вторыми частными производными).

u ' ' x 2= f ' ' x2 x0 , y0

, z0

или

2 u

=

2 f x0 , y0 , z0

 

x2

 

 

2

x2

 

 

 

 

 

 

u ' ' xy = f ' ' xy x0 , y0

, z0

или

2 u

 

=

f x0 , y0 , z0

 

x y

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

Дифференциал высшего порядка.

Для функции, зависящей от одной переменной дифференциалы выглядят так:

z= f x второй и третий

d 2 z=d dz =d z ' dx =dz ' dx= z ' ' dx dx=z ' ' dx2

d 3 z=d d 2 z =d z ' ' dx2 =dz ' ' dx2= z ' ' ' dx dx2=z ' ' ' dx3

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции

z= f x :

d n zz n dxn

 

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что dx

есть

произвольное и не зависящее от x , которое при дифференцировании по

x

следует рассматривать как постоянный множитель.

 

Нарушение свойства инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.

При n2, n -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности

x= t

первого дифференциала), то есть выражение d n f зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная x как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример.

При

n=2 и y= f x =x3 :

если

x — независимая переменная, то

 

d 2 y=d 2 f x = x3 ' ' dx 2=6x dx 2

если

x= t =t 2 и dx=d t = ' t dt=2tdt

 

1.

6x dx 2=6t2 2tdt 2=24t4 dt 2

 

2. при этом,

y= x3= t2 3=t 6 и d 2 y= t 6 ' ' dt 2=30t4 dt 2

С учётом зависимости

x=t 2 , уже второй дифференциал не обладает

свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Соседние файлы в папке шпоры по матану