шпоры по матану / 46407755-38

Теорема 1. Если функция

f непрерывна на промежутке l

и ее производная

положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого

промежутка, то функция

f возрастает (соответственно убывает) на l .

Доказательство. Пусть

x1

и x2 точки промежутка l , причем x1 x2

, и

пусть f ' x 0 внутри

l . По теореме Лагранжа имеем

f x2 − f x1 = f ' c x2−x 0 , так как x2−x1 0

, а

f ' x 0

,

поскольку c x1, x2

, и потому c внутри

l .

Итак, если производная положительна, то из

x1 x2 следует

f x1 f x2 ,

т. е. функция f возрастает на l . Случай, когда f ' x 0

внутри l

рассматривается аналогично.

Теорема 2. Если функция

f непрерывна в точке

a , причем вблизи этой

точки слева от

a

производная функции

f положительна, а справа она

отрицательна, то

a - точка максимума функции

f .

Доказательство. Из условия следует, что существует такой отрезок

[ a−h , a h ]

, что на

[ a−h , a ) производная положительна, а на

( a , a h ]

она отрицательна. Тогда функция

f возрастает на [ a−h , a ]

и убывает на [a , a h] (рис. 13). Значит, в самой точке

a

она принимает

значения большие, чем ее значения слева или справа от

a

(вблизи a ).

Иными словами,

a - точка максимума функции. Аналогично доказывается

теорема 3.

Теорема 3. Если функция

f непрерывна в точке

a , причем вблизи этой

точки слева от

a

производная функции

f отрицательна, а справа от a она

положительна, то

a - точка минимума функции

f