шпоры по матану / 46407743-35

Многочлен P x

, наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели,

называется многочленом Тейлора для данной функции; найдя его по заданной функции

f x

, мы сможем вместо сложного вычисления значений функции

f x

приближённо заменять это вычисление на вычисление значений многочлена P x .

Уточним теперь постановку задачи. Пусть функция

f x определена в

некоторой окрестности

E = x0− ; x0 некоторой точки

x0 и имеет

всюду в окрестности

E

производные

f k x

при

k =1,2 , ... , n .

Многочленом Тейлора степени

n

в точке x0 называется такой многочлен

P x

степени

n , такой, что его значение и значение всех его производных,

вычисленные в точке

x0

, равны соответствующим значениям функции

f x

и её производных

f k x до порядка

n

в этой же точке:

P k x0 = f k x0 ; k =0,1,2 ,... , n.

Если это условие совпадения выполнено, то графики функций

y= f x и ,

по y=P x крайней мере при

x0

, близких к

x0

, будут идти весьма

тесно друг к другу. Равенство

P x0 = f x0 означает, что графики проходят

через одну и ту же точку

x0 ;

f x0

; равенство

P ' x0 = f ' x0

раскрыть степени t x0 k при

k =2,3 , ... , n по формуле бинома Ньютона, а

потом привести подобные члены. Все коэффициенты ai

(кроме a0 ) и

свободный член при этом изменятся на некоторые другие ( a ' i

в нашей

формуле), но получится многочлен по степеням бинома

x−x0

, имеющий ту

же степень

n .

Многочлен Тейлора порядка n :

f n a

f ' a

f ' ' a

2

n

T n x = f a

x−a

x−a ...

x−a

1!

2

!

n!

Формула Тейлора:

f ' a

f ' ' a

f n a

2

n

f x = f

a

x−a

x−a ...

x−a

Rn x

1

!

2!

n!

( Rn x

- остаточный член формулы Тейлора).