шпоры по матану / 46407718-32

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2014

Размер:

49.45 Кб

Скачать

☆

32. Теорема Коши.

Теорема. Если функции f x и x непрерывны на отрезке

[a ,b ] и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем ' x не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней


мере, одна точка c a , b , в которой				f b − f a		f ' c
					=			.
				b − a		' c
Доказательство. Так как		' x ≠0 во всех точках					a , b , то
отсюда следует, что a ≠ b		. В противном случае, как следует из
теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка c a , b							, в которой
' c =0 .
Составим вспомогательную функцию
F x = f x − f a −	f b − f a		=[ x − a ] .

	b − a

Данная функция непрерывна на отрезке [a ,b ] и дифференцируема во всех его


внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках x=a									и	x=b дает:
F a =F b =0 . Значит, функция					F x удовлетворяет требованиям
теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка								c a , b		, в которой
F ' c =0 .
Вычислим производную F x				:
F ' x = f ' x −		f b − f a		' x .
F ' x = f ' x −		b − a		' x .
		b − a
Из условия F ' c =0 следует, что
f ' c −	f b − f a		' c =0 и			f b − f a	=	f ' c	,
f ' c −			' c =0 и				=	' c	,
	b − a					b − a		' c

что и требовалось доказать.

В случае, когда x = x , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

Соседние файлы в папке шпоры по матану