шпоры по матану / 46407736-33
.pdf33. Правило Лопиталя.
Пусть функции f ( x) и ϕ ( x) непрерывны и дифференцируемы во
всех точках полуинтервала ( a, b] и при x → a совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при x → a , то этот же предел имеет
lim |
f ( x) |
= lim |
f ′( x) |
|
|
|
|
||
отношение и самих функций, то есть x→a ϕ ( x) |
x→a ϕ′( x) . |
|||
Проведем доказательство данной теоремы только для случая,
lim f |
( |
x |
) |
= lim ϕ |
( |
x |
) |
= 0 |
. Так как пределы у обеих функций |
когда x→a |
|
x→a |
|
|
одинаковы, то доопределим их на отрезке [ a, b] , положив, что при x = a выполняется равенство f ( a) = ϕ ( a) = 0 .
Возьмем точку a < x < b . Так как функции f ( x) и ϕ ( x)
удовлетворяют теореме Коши, применим ее на отрезке [ a, x] :
|
f ( x) |
− f ( a) |
= |
f ′( c) |
|
|
|
|||
|
ϕ ( x) |
−ϕ ( a) |
|
ϕ′( c) |
, где |
c ( a, x] |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как f ( a) = ϕ ( a) = 0 , то |
|
|||||||||
|
f ( x) |
= |
f ′( c) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ ( x) |
ϕ′( c) |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перейдем в данном равенстве к пределу:
lim |
f ( x) |
= lim |
f ′( c) |
|
|
|
|
||
x→a ϕ ( x) |
x→a ϕ′( c) |
. |
||
|
|
|
|
|
Но если x → a , то и c , находящееся между точками a и x , будет
|
lim |
f ′( c) |
= lim |
f ′ ( c ) |
= lim |
f ′ ( x ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
стремится к a , значит |
x→a ϕ′( c) |
c→a ϕ′ ( c ) |
x→ a ϕ′ ( x ) |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
lim |
|
f ′( x) |
= A |
lim |
f ( x) |
= A |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда, если |
x→a ϕ′( x) |
, то и |
x→a ϕ ( x) |
, то есть |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
lim |
f ( x) |
= lim |
|
f ′( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→a ϕ ( x) |
x→a ϕ ′( x ) |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать. |
|
|
|
|||||||
Если при x = a |
f ′( a) = ϕ′( a) = 0 , то снова получается |
|||||||||
0
неопределенность вида 0 и правило Лопиталя можно
применять снова, то есть
lim |
f ( x) |
= lim |
f ¢( x) |
= lim |
f ¢¢( x) |
= ... |
|
|
|
||||
x→a ϕ ( x) |
x→a ϕ¢( x) |
x→a ϕ¢¢( x) |
|
|||
¥
Доказательство правила Лопиталя для случая ¥ проводится
сложнее, и мы его рассматривать не будем.
При раскрытии неопределенностей типа 0 ×¥ , 1∞ , ¥0 , 00 , ¥ - ¥ правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале
0
все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду 0
¥
или ¥ .
Правило Лопиталя может быть использовано при сравнении
роста функций, в случае когда x → ∞ . Наибольший практический
интерес здесь представляют функции ln x , xn , ax . Для этого
найдем пределы их отношений:
|
ln x |
|
∞ |
|
|
1 |
|
lim |
= |
|
= lim |
x |
= 0 |
||
|
|
|
|
||||
1) x→∞ |
xn |
|
∞ |
|
x →∞ nxn−1 |
, значит, xn растет быстрее, чем ln x ; |
|
|
|
||||||
|
ln x |
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
lim |
= |
|
= lim |
x |
= 0 |
|||
|
|
|
|
|
||||
2) x→∞ ax |
|
∞ |
|
x →∞ ax ln a |
, значит, ax растет быстрее, чем ln x ; |
|||
|
|
|||||||
lim |
xn |
= |
|
∞ |
|
= lim |
nxn−1 |
= ... = 0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
3) x→∞ ax |
|
|
∞ |
|
x→∞ ax ln a |
, значит, ax растет быстрее, чем |
|||
|
|
|
|
||||||
xn .
Отсюда следует, что быстрее всего растет ax , затем xn и, наконец, ln x .