24. Полярное разложение матриц

Теорема (Полярное разложение). Если A∈ , то существуют положительно полуопределенные эрмитовы матрицы H и K, однозначно определяемые матрицей A, и унитарные матрицы W и Y из , такие что

Более того, .

Доказательство. Положим (2),

Где U,V – матрицы из сингулярного разложения (1). Несложно проверить, что W – унитарная матрица, а H – положительно полуопределенная эрмитова матрица. Тогда имеем:

Далее, так как =, то верно и .

Применяя полученный результат к , получим

.

25. Векторные нормы. Непрерывность векторных норм

Векторная норма: функция :

1) (неотрицательность);

1а) (невырожденность);

2) (абсолютная однородность);

3) (неравенство треугольника).

Векторная полунорма: выполняются 1),2),3),но не обязательно 1а)

Определение. Вектор, норма которого равна единице, называется нормированным.

Любой ненулевой вектор x можно нормировать, умножив его на число λ=||x||^-1

Примеры векторных норм наCⁿ.

Евклидова норма(I₂, 2-норма) ||x||₂=(

Абсолютная норма(I_1, 1-норма, Манхеттен-норма) ||x||₁

Максимальная норма(I_∞, ∞-норма)||x||_∞

Норма Гёльдерас показателем р(I_p – норма)

||x||_p

Теорема(о непрерывности нормы)

Векторная норма ||•||непрерывно зависит от элементов вектора, т.е. для заданного ε > 0 ∃δ(ε) > 0, такое что | ||x|| - ||y|| | < ε, как только|x_i −y_i| <δ(ε) для всех индексов i.

Доказательство. Пусть x,y∈Cⁿ заданные векторы.

Используя единичные векторы e_i, можно представить

Определим число k =max||e_i||>0. Тогда справедлива цепочка соотношений:

Для заданного ε определим и рассмотрим x и y, для которых | | <δ, i=1,n. Тогда

26. Эквивалентностьвекторныхнорм

Теорема (об эквивалентности векторных норм).

Пусть ||•||_α и||•||_β–две произвольные векторные нормы в конечномерном вещ. Или комплексном пространствеV. Тогда они эквивалентны.

Доказательство. Рассмотрим соотношение на евклидовой единичной сфере

Сфера явл. компактным мно-вом в . Так как то по св-ву 1а) векторгой нормы , и, хначит, Таким образом, значенатель не образается в нуль и отношение непрерывно на S. По теореме Вейерштрасса у непрерывной ф-цииh на компактноммн-веS сущ. максимальное значение c_M и положительное (т.к. h>0) минимальное значение c_m:

c_m≤ h≤ c_M c_m ≤ ≤ c_M,

откуда следует, что соотношение теоремы верно ∀x∈S.

Рассмотрим теперь произвольный вектор x∈V . Случай x = 0 тривиален, поэтому считаем, что x ≠ 0. Очевидно, что y= ∈S. Тогда по вышеуказанномуc_m||y||_α≤||y||_β≤ c_M||y||_α,

откуда получаем ,

откуда в силу св-ва 2) векторных норм следует справедливость теоремы для ∀x∈

27. Матричные нормы

Опр. Ф-ция ||•||: , наз. матричной нормой, если для любой A ∈ выполняются следующие условия:

1)||A||≥0(неотрицательность);

1а) A||=0 A=0 (невырожденность);

2)||αA||=|α|||A|| (абсолютная однородность);

3)||A+B||≤||A||+||B|| (неравенство треугольника);

4)||AB||≤||A||||B|| (кольцевое свойство)

Примеры матричных нормна

1*. ||A||₁ ≡ Столбцовая норма (1-норма),

2*. ||A||_∞ ≡ Строчная норма (∞-норма),

3*. ||A||_E ≡ Евклидова норма

4*. ||A||_E ≡ Спектральная норма

5*.||A||_M ≡ М-норма

6*. ≡ l1-норма