21. Критерии эрмитовости матрицы

Матрица A ∈ эрмитова тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из следующих условий:

а) функция Ax принимает вещественные значения для любого x ∈ ;

b) матрица A нормальна и все ее собственные значения вещественны;

с) матрица AS эрмитова для любой матрицы S ∈ .

Доказательство. Необходимость.

1. Рассмотрим число, комплексно-сопряженное к числу Ax: = = = Ax

Таким образом, число x∗Ax совпадает с комплексно сопряженным числом и, следовательно, является вещественным.

2. Пусть λ - собственное значение эрмитовой матрицы A, x -соответствующий ему нормированный собственный вектор: Ax = λx, x = 1.

Умножим второе равенство на λ:

λ = λ x = λx = Ax ∈ R (в силу доказанного утверждения a). Нормальность матрицы А вытекает из справедливости равенства: = (A = , = A) = .

3. Для произвольной матрицы S ∈ справедливо: = S = , следовательно - эрмитова.

Достаточность.

Рассмотрим утверждение а) для вектора (x + y) ∈ : A(x + y) = ( Ax + Ay) + ( Ay + Ax) ∈ R ∀x,y ∈ . Поскольку Ax ∈ R, Ay ∈ R по предположению, то Ay + Ax ∈ R, ∀ x,y ∈ . (6.1)

Возьмем в (6.1) x = , y = ( - k-й вектор естественного базиса .):

A + A = + ∈ R ⇒ Im = −Im . (6.2)

Возьмем x = i , y = :

− i A + i A = −i + i ∈ R ⇒ Re = Re . (6.3) Из (6.2) и (6.3) следует, что = , ∀j, k = 1,…, n, а, следовательно, A = .

b) По спектральной теореме для нормальных матриц нормальная матрица унитарно диагонализуема, т.е. A = , где U ∈ - унитарная матрица, Λ = diag{ , .., }∈ , ∈ σ (A) . Рассмотрим = ( ) = = = A,

следовательно А - эрмитова.

c) Положим S = : = ( ) ⇒ A = A .

22. Теорема Рэлея-Ритца

Теорема Рэлея-Ритца. Пусть Aэрмитова и ее собственные значения упорядочены (Пусть A – эрмитова, ). Тогда

Доказательство. Поскольку матр. А – эрмитова, то по спектральной теореме для эрмитовых матриц сущ. такие унитарные март. и диагональная матрица , что . При любом векторе верны равенства

Каждый сомножитель неотрицателен, поэтому

Поскольку март. U унитарна, а унитарные матр.изометричны, то имеют место равенства

Таким образом, справедливы соотношения:

что и доказывает (2).

Покажем, что оценки в соотношении (2) точны.

Действительно, если x – собст.векторматр. A, соответствующий собственному значению λ1, то

Точность оценки сверху устанавливается аналогично.

Остальные утверждения является простыми следствиями соотношений(2).

Покажем, например, справедливость (3). При из правой части соотношения (2) имеем:

Это неравенство обращается в равенство, когда x- собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению . Следовательно, .(5)

Наконец, при можно перейти к нормированному вектору:

Таким образом, равенство (5) эквивалентно следующему

Рассуждения для минимального собственного значения аналогичны.

23. Сингулярное разложение матриц

Теорема (Cингулярное разложение). Любая матрица ранга r может быть представлена в виде

где , – унитарные матр., – диагональная прямоугольная матр. с невозрастающими неотрицательными элементами по диагонали. При этом

• диагональные элементы σ_ii являются сингулярными числами матрицы A;

• столбцы матрицы U образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы AA^∗;

• столбцы матрицы V образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы ;

Доказательство. Согласно свойству 70 знакоопределенных матриц эрмитова матрица A^∗A являетсяположительнополуопределённой. Пусть σ²₁,…, σ²_n – собственные значения матрицы причем σ_i упорядочены.Пусть v₁, . . . ,v_n– собственные векторы матрицы , соответствующие σ²₁,…, σ²_n. Из спектральной теоремы для нормальныхматниц следует, что v₁,…, v_nможно выбрать ортонормированными.

По системе векторов v₁,…, v_nпостроим второй сингулярный базис u₁,…, u_m(если r<m, то систему ортонормированных векторов u₁,…, u_rдобавим до ортонормированного базиса в m-мерном пространстве.

Составим из векторов v₁,…, v_nи u₁,…, u_mдве унитарные матрицы: V ={v₁,…, v_n}∈ , U ={ и u₁,…, u_m}∈ . Составим также диагональную матрицу Σ=diag{σ₁, . . . ,σ_n}. Тогда A=UΣV^∗.