19. Спектральная теорема для нормальных матриц
Для матрицы A = [
]
∈
с собственными значениями λ1,... ,λn
следующие утверждения равносильны:
а) A нормальна;
b) A унитарно диагонализуема;
с)
=
d) для А существует ортонормированная система из собственных векторов
Доказательство.
a) ⇒
b) : по теореме Шура существует унитарная
матрица V ∈
и треугольная матрица T ∈
такие, что A =
.
Умножим
это равенство на сопряженное. С учетом
а) имеем
=
=
=
=
=
,
откуда следует
=
, т.е. T – треугольная нормальная матрица
и по свойству
нормальных матриц (блочно-треугольная
нормальная матрица T является
блочно-диагональной.) T – диагональная.
b) ⇒
a) : по определению унитарно диагонализуемой
матрицы для матрицы A существуют унитарная
матрица U ∈
и
диагональная матрица Λ ∈
,
такие что A =
.
Следовательно, с
учетом свойства
нормальных матриц (диагональная матрица
является нормальной)
=
=
=
=
A,
т.е. А – нормальная.
b) ⇒ c) следует из применения теоремы 5.4 (Для унитарно подобных матриц A и B из
имеет место
равенство
=
)
к унитарно подобным матрицам A и Λ.
c)⇒
b). По теореме Шура A =
,
где
=
(A). Далее, применяя теорему 5.4 к унитарно
подобным матрицам A и T, имеем:
=
+
,
откуда с учетом с) следует
= 0, откуда
∀
i
< j.
а) ⇒
d) Обозначим
,
i = 1,…, n – столбцы матрицы U в разложении
A =
:
U
= [
,
. . . ,
]
.
Из разложения A =
в
силу
=
для
унитарной матрицы U
имеем AU
= UΛ,
что с учетом того, что матрица Λ
– диагональная, равносильно A
=
,
i
= 1,…, n.
Из послед-
них равенств и определения собственных векторов вытекает, что , i = 1,…, n, являются собственными векторами матрицы A. В силу утверждения е) теоремы 5.2 (о критериях унитарности) векторы образуют ортонормированную систему, что и завершает доказательство. d) ⇒ a) Пусть , i = 1,…, n –система ортонормированных собственных векторов матрицы: A = , i = 1,…, n. (5.9)
Составим из этих векторов матрицу U = [ ,…, ] . Тогда (5.9) можно записать в матричном виде
AU = ΛU = UΛ, откуда следует AU = Λ, т.е. A – унитарно подобна диагональной, а значит, согласно b), A – нормальна.
20. Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы. Их свойства. Эрмитово разложение
Матрица A ∈ называется эрмитовой, если A = , и косоэрмитовой, если A = − . Свойства эрмитовых матриц:
Матрицы
,
,
эрмитовы
для любой матрицы A ∈
.Если матрица A эрмитова, то ее степень
эрмитова для всех k = 1,2,.... Если A также
невырожденная, то A−1тоже эрмитова.Если A и B - эрмитовы, то матрица αA+βB эрмитова для любых вещественных α, β.
Матрица A − косоэрмитова для любой матрицы A ∈ .
Если A и B–косоэрмитовы, то матрица αA + βB косоэрмитова для любых вещественных α,β.
Если A - эрмитова, то iA - косоэрмитова.
7). Если A - косоэрмитова, то iA - эрмитова.
Любую матрицу A ∈ можно записать в виде:
A
=
(
)
+
(
)
≡ H(A)
+ S(A),
где H(A)
=
(
)
- эрмитова часть матрицы A,
S(A)
=
(
)
– косоэрмитова часть матрицы A.
Если A − эрмитова, то все элементы на ее главной диагонали вещественны. Для того чтобы задать все
элементов матрицы A,
достаточно указать n
вещественных чисел (диагональные
элементы) и
комплексных чисел (внедиагональные).
Теорема (Об эрмитовом разложении). Любую матрицу A ∈ можно записать единственным образом в виде A = H + iT, где обе матрицы H и T эрмитовы. Имеется также единственное представление вида A = B + C, в котором матрица B - эрмитова, а матрица C - косоэрмитова.
Доказательство. Существование представления следует из свойства 8), если положить B = H (A), C = S (A), свойства 6) и равенства C = −iiC (поскольку iC- эрмитова), а также свойства 7): H = H (A), T = −iC. Докажем единственность. Если A = K + iF - еще одно представление, где K и F - эрмитовы, то
2H
=
= (K
+ iF)
+
= K
+ iF
+
−
= 2K,
откуда следует, что H
= S.
Аналогично устанавливается равенство
F
= T
и существование единственного
представления A
= B
+ C.