5. Теорема о существовании псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.
Опр.
Матрица
называется псевдообратной матрицей
Мура-Пенроуза для матрицы
,
если выполнимы следующие условия:
,
,
где
,
-
некоторые матрицы.
Теорема. Для
любой матрицы А псевдообратная матрица
Мура-Пенроуза существует, единственна
и выражается по формуле
,
где В и С- компоненты скелетного
разложения А=ВС матрицы А.
Док-во:
Докажем существование
матрицы
Если
А=0, положим
.
Пусть А≠0.
Рассмотрим разложение А=ВС и будем
искать сначала
Из
определения псевдообратной мтарицы
имеем:
.
Умножим последнее равенство слева на В*:
Теперь умножая
последнее равенство справа на В*, получим
,
аналогично получаем
.
Рассмотрим матрицу
и покажем, что она удовлетворяет условиям
,
,
т.е. является псевдообратной. Обозначим
К=
.
Тогда используя
А=ВС и
получим:
,
,
где
.
6. Теорема о единственности псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза
Опр. Матрица называется псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза для матрицы , если выполнимы следующие условия: , , где , - некоторые матрицы.
Теорема. Для любой матрицы А псевдообратная матрица Мура-Пенроуза существует, единственна и выражается по формуле , где В и С- компоненты скелетного разложения А=ВС матрицы А.
Док-во:
Докажем, что для
данной матрицы А не существует двух
различный псевдообратных матриц
.
Действительно:
,
откуда получаем
Введем обозначение
Тогда имеем АDA=0,
D=U
=
.
=> (DA)*DA=A*D*DA=A*V*ADA=0.,
что равносильно
.
Таким образом, единственность псевдообратной матрицы, а значит и теорема доказана.
7. Свойства псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза
Свойства:
А -эрмитова
, т.е. матрица
эрмитова
Матрица А,
имеют один и тот же ранг.
,
если А имеет полный ранг по строкам.
,
если А имеет полный ранг по столбцам
.
Докво.:
Для док-ва 1
используем представление
С
учетом св-во операции * имеем:
Далее заметим, что
для матрицы
представление
является скелетным разложением. Используя
для
представление
,
получим
Получаем равенство этих формул.
Докажем 3 св-во имеем:
.
Далее с учетом св-в операций * получим сравнивая результаты, убеждаемся в справедливости 3.
Аналогично доказывается 4. Свойство 5 доказывается непосредственно с применением
Докажем 6. Т.к. ранг произведение матриц не превосходит ранга любого из сомножителей, то из А А=А. и св-ва 5 имеем:
rk A=rk A
;
отсюда
следует
rk A=rk
.
Анологично
док-ся равенство двух других рангов.
7 и 8 вытекают из
8. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений с использованием псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза
Теорема.
Общее решение однородной системы Ах=0
задается равенством
,
где q-
произвольный вектор подходящего размера.
Докво:
Во-первых,
для любого вектора q
справедливо
Это означает, что х-решение системы
Ах=0. Во-вторых, для любого решения х
системы Ах=0 найдется вектор q,
при котором х имеет представление х=
.
Действительно, можно просто положить
q=x,
т.к.
.
Теорема доказана.
Следствие. Решение системы Ах=0 единственно тогда и тока когда матрица А имеет полный ранг по столбцам.
Док.
Действительно, в этом случае из 8 св-ва
вытекает
и из х=
следует х=0.
Если решение не единственно, то существует бесконечно много решений, задаваемых формулой х=