42.Стохастические матрицы.

Определение. Неотрицательная матрица A ∈R^n×n, для которой все строчные суммы равны +1, называется (строчной) стохастической матрицей.

Столбцовая стохастическая матрица — это матрица, транспонированная к строчной стохастической матрице.

Стохастическая матрица A ∈R^n×n, для которой A^T также является стохастической, называется двоякостохастической.

Теорема. Неотрицательная матрица A является стохастической тогда и только тогда, когда она имеет собственное значение 1 с правым собственным вектором e = .

Кроме того, спектральный радиус стохастической матрицы равен 1.

Теорема. Пусть A — неотрицательная матрица с максимальным собственным значением λ. Пусть существует положительный правый собственный вектор x, соответствующий λ. Положим X = diag {x₁, . . . , x_n}. Тогда

A = λXP X⁻¹, где P — стохастическая матрица.

Доказательство. Пусть P = λ⁻¹X⁻¹AX. Покажем, что P —стохастическая. Так как по определению собственного вектора и собственного значения Ax = λx, то , (i = ⌐1, n).По определению p_ij = λ⁻¹ a_ijx_i, и, следовательно , а значит, P — стохастическая.

Теорема (Биркгофа).Матрица A∈R^n×nявляется двоякостохастической в том и только том случае, когда для некоторого N< ∞ существуют матрицы перестановокP₁, . . . , P_N∈R^n×nи положительные числа α₁, . . . , α_N∈R, такие, что α₁ + . . . + α_N= 1 и A = α₁P₁ + . . . + α_N P_N .

Теорема. Если A ∈R^n×n— неразложимая стохастическая матрица, то матрица A^∞ = существует тогда и только тогда, когда A примитивна.

1. Функции от матриц.

2. Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра

3. Скелетное разложение матрицы: лемма о ранге, лемма о существовании и неединственности скелетного разложения

4. Свойства компонент скелетного разложения A=BC: лемма о невырожденности В*В, СС*

5. Теорема о существовании псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.

6. Теорема о единственности псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

7. Свойства псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

8. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений с использованием псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

9. Нормальное псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений.

10. Матричные уравнения AX = XB

11. Матричные уравнения AX = XA

12. Сопряженное пространство и его базис

13. Ортогональное дополнение сопряженного пространства

14. Сопряжённое отображение

15. Унитарные и ортогональные матрицы. Их свойства

16. Критерии унитарности матрицы

17. Унитарное подобие

18. Теорема Шура об унитарной триангуляризации матриц

19. Спектральная теорема для нормальных матриц

20. Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы. Их свойства. Эрмитово разложение

21. Критерии эрмитовости матрицы

22. Теорема Рэлея-Ритца

23. Сингулярное разложение матриц

24. Полярное разложение матриц

25. Векторные нормы. Непрерывность векторных норм

26. Эквивалентность векторных норм

27. Матричные нормы

28. Согласованные и подчиненные векторные и матричные нормы.

29. Число обусловленности.

30. Сходимость матриц

31. Теорема Гершгорина

32. Уточнение оценок собственных значений с помощью преобразования подобия

33. Локализация собственных значений Неравенство Шура. Теорема Бендиксона

34. Локализация собственных значений Теорема Гирша. Теорема Брауна

35. Невырожденность матриц

36. Неотрицательные и положительные матрицы, их свойства.

37. Сравнение спектральных радиусов неотрицательных матриц

38. Теорема Перрона (с доказательством)

39. Теорема Перрона-Фробениуса

40. Теорема Фань-Цзы

41. Примитивные и импримитивные матрицы

42. Стохастические матрицы