39.Теорема Перрона-Фробениуса

Теорема (Перрона— Фробениуса).

Пусть A ∈ неразложима и A ≥ 0. Тогда

а) ρ(A) > 0;

b) ρ(A) есть собственное значение матрицы A:

ρ(A) = ∈ σ(A);

с) для некоторого ∈ имеем > 0 и A = ρ(A) ;

d) ρ(A) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для A.

40.Теорема Фань-Цзы.

Теорема (Фань Цзы). Пусть A∈C^n×nи B∈R^n×n, B ≥ 0 и B ≥ |A|. Тогда любое собственное значение матрицыA принадлежит области

.

Доказательство. Будем считать, что B> 0. Если это не так, то можно рассматривать матрицу B_ε ≡ [b_ij + ε], где ε> 0. ПриэтомB_ε> |A| и ρ(B_ε) − (b_ii + ε) ρ(B) − b_ii.

По теореме Перрона длякакого-то положительного векто-раx имеем Bx = ρ(B)x. Рассматривая это равенство покомпонентно для ∀i = ⌐i, n, имеем

ρ(B)x_i = + + ⇒ ρ(B) - , (i = ⌐ 1,n)

Положив в (8.4 )p_i = x_i, убеждаемся в (9.1).

41.Примитивные и импримитивные матрицы.

Определение. Пусть неразложимая квадратная матрица A ≥ 0 имеет k собственных значений, равных по модулю ρ(A). Тогда если k = 1, то матрица A называется примитивной. В противном случае A называется импримитивной с индексом импримитивности k.

Теорема . Если A ∈Rn×n неотрицательна и примитивна, то

, гдеL = xy^T, Ax= , A^Ty= , x>0 , y>0 , x^Ty=1.

Теорема. Пустьp_A(λ) = λⁿ+ a₁λⁿ¹ + . . . + a_tλ^nt — характеристический полином матрицы A, причемa₁, a₂, . . . , a_t ненулевые и n>n₁> . . . >n_t ≥ 0. Вычисляем разности n − n₁, n₁ − n₂, . . . , n_t−1 − n_t.

Тогда индекс импримитивности k матрицы A равен наибольшему общему делителю разностей n − n_j , (j = ⌐1, t)

Теорема. Матрица A ≥ 0 примитивна в том и только в том случае, когда A^m> 0 для некоторогоm ≥ 1.

Доказательство. Предположим, что A^m> 0, и, следовательно, A^mнеразложима. Далее, из разложимости A следовала бы разложимость A^m, а следовательно, A^m> 0 означает, что A неразложима.

Если бы A имела индекс импримитивности k> 1, то так как собственные значения для A^m являются m-ми степенями собственных значений для A, A^m также имела бы индекс импримитивности k> 1. Но это противоречило бы теореме Перрона, примененной к положительной матрице A^m. Следовательно, k = 1 и A примитивна.

Обратно, если Aпримитивна, то

,согласно теореме 9.12, и так как ρ(A) > 0, то для какого-то m ≥ 1 верно A^m> 0.

Определение. Для любой заданной примитивной матрицы A наименьшее число k такое, что A^k> 0, называется ее индексом примитивности.

Теорема (Графовый критерий примитивности).

Неразложимая матрица A ≥ 0 примитивна тогда и только тогда, когда g_i = 1, (∀i = 1, n).

Теорема. Если матрица A∈R^n×nнеотрицательна, то A примитивна тогда и только тогда, когда A^{n^2−2n+2} > 0.

Свойства примитивных матриц

1⁰. Если A ≥ 0 — примитивная матрица, то A^mявляется неотрицательной, неразложимой и примитивной для всехm = 1, 2,..

2⁰ . Если A ≥ 0 — неразложимая матрица с индексом импримитивности k, то существует матрица перестановок P , такая, что PA^kP^T= , где A_i — примитивные матрицы с одним и тем же максимальным собственным значением.

3⁰. Если A> 0, то она примитивна.

4⁰. Если A ≥ 0 неразложима и хотя бы один ее диагональный

элемент положителен, то A примитивна.

5⁰. Если A — произвольная неразложимая матрица, B — любая неотрицательная матрица с положительным следом, то их сумма

A + B является примитивной матрицей.

6⁰. Если A∈R^n×nнеотрицательна и неразложима и имеет d положительных элементов на главной диагонали, где 1 ≤ d ≤ n, то индекс примитивности k ≤ 2n − d − 1.

7⁰.Примитивная матрица всегда устойчива.