36. Неотрицательные и положительные матрицы, их свойства.

Определение. Матрица A = [a_ij] ∈ называется неотрицательной (положительной) и это обозначается как А≥0 (А>0), если а_ij≥0 (а_ij>0), i=1,n,j=1,m.

Аналогично определяются отношения ≤ и < понятия неположительной (отрицательной) матрицы.

Если A-B≥0 (A-B>0), то пишут А≥В (А>В).

По определению .

Свойства неотрицательных матриц.

Пусть А,В Є .

1⁰. |A| ≥0 ∀A; |A| =0⇔A=0.

2⁰.|Ax| ≤ |A| |x|.

3⁰.|Am| ≤ |A|^m, ∀m=1,2, . . .

4⁰.Если 0≤A≤B, то 0≤A^m≤B^m, ∀m=1,2, . . ..

5⁰.Если A>0, x≥0 и x ≠0, то Ax>0.

6⁰.Если |A| ≤ |B|, то ||A||_E ≤||B||_E.

7⁰.||A||_E =|||A|||_E.

Теорема. Пусть A,B∈ . Если |A| ≤B, тоρ(A)≤ρ(|A|)≤ρ(B).

Следствие. ПустьA, В∈ . Если 0 ≤ A ≤ B, то ρ(A)≤ρ(B).

Лемма. Пусть A∈ иA≥0. Если строчные суммы для А постоянны, то ρ(A)=||A||_∞. Если для A постоянны. столбцовые суммы, то ρ(A)=||A||_1.

Теорема. Пусть A∈ и A≥0. Тогда

Следствие. Пусть A∈ , А≥0 и . Тогда . В частности, если А>0 или если А неразложима и неотрицательна. Теорема. Пусть A∈ и предположим, чтоА≥0. Тогда для любого положительного вектораxЄCⁿсправедливы неравенства:

Следствие. Пусть A∈ , x ∈Rⁿ, и предположим, что A≥0 и x>0. Если числа α,β≥0 таковы, чтоαx≤Ax≤βx, то α≤ρ(A)≤β.

Если αx<Ax, то α<ρ(A); если Ax<βx, то ρ(A) <β.

Следствие 9.4. Пусть A∈ и A≥0. ЕслиA имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть ρ(A). Другими словами, если Ax=λx, x>0 и A≥0, то λ=ρ(A)

37.Сравнение спектральных радиусов неотрицательных матриц

Теорема Пусть A,B ∈ . Если |A| ≤ B, то ρ(A) ≤ ρ (|A|) ≤ ρ(B).

Доказательство. Во-первых, из свойств неотрицательных матриц следует справедливость следующей цепочки неравенств для ∀ m = 1, 2,... :

| |≤ ≤ .

Далее из этих неравенств имеем для ∀ m = 1, 2,... :

Переходя в последних равенствах к пределу при m → ∞

согласно равенству ρ(A) = получаем соотношения теоремы.

Следствие Пусть A,B ∈ . Если 0 ≤ A ≤ B, то ρ(A) ≤ ρ(B).

38.Теорема Перрона (с доказательством)

Теорема (Перрона). Если A ∈ и A > 0, то

а) ρ(A) > 0;

b) ρ(A) есть собственное значение матрицы A

(ρ (A) = ∈ σ (A));

с) для некоторого ∈ имеем > 0 и A = ρ(A) ;

d) ρ(A) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для A;

е) |λ| < ρ(A) для всякого собственного значения λ ρ(A);

другими словами, только одно собственное значение , равное именно ρ(A), имеет максимальный модуль;

f ) где

L ≡ x , Ax = ρ(A)x, y = ρ(A)y, x > 0, y > 0, y = 1.

Доказательство:

a)- b) Рассмотрим собственное значение λ, такое, что |λ| = ρ(A) > 0, и отвечающий ему собственный вектор

x 0. По лемме(пусть еще Ax = λx, x 0 и |λ| = ρ(A). Тогда A|x| = ρ(A) |x| и |x| > 0.) искомым вектором будет |x|.

e) По определению |λ| ≤ ρ(A) для всех λ ∈ σ(A). Пусть |λ| = ρ(A) и Ax = λx, x 0.

Согласно лемме( для некоторого θ ∈ R имеем x = |x| > 0), Aw = λw, где w = x > 0 для какого-то θ ∈ R. Отсюда, опираясь на следствие(Если A имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть ρ(A).др.словами λ = ρ(A)), получаем λ = ρ(A).

d) ρ(A) есть собственное значение алгебраической кратности 1; другими словами, ρ(A)—это простой корень характеристического уравнения (t) = 0, где (t) —характеристический полином матрицы A.